Geometrie absolută

Geometria absolută (sau geometria neutră ) este o parte a geometriei clasice, independentă de al cincilea postulat al axiomaticii euclidiene (adică, în geometria absolută, al cincilea postulat poate fi satisfăcut sau nu). Geometria absolută conține propoziții care sunt comune geometriei euclidiene și geometriei lui Lobaciovski [1] [2] .

Termenul a fost propus de Janos Bolyai în 1832 [3] . Adevărat, Bolyai însuși i-a pus un sens ușor diferit: a numit geometrie absolută simbolismul special dezvoltat de el, care a făcut posibilă unirea atât a teoremelor geometriei euclidiene, cât și a geometriei Lobachevsky [4] printr-o singură formulă .

Exemple de teoreme în geometrie absolută

Primele 28 de teoreme ale „ Principiilor ” lui Euclid se referă la geometria absolută. Iată mai multe exemple de astfel de teoreme [5] :

Teoreme care nu sunt incluse în geometria absolută

Axiomatica modernă a geometriei euclidiene (cum ar fi axiomatica lui Hilbert ) este completă , adică orice afirmație corectă din această teorie poate fi dovedită sau infirmată. Geometria absolută este incompletă: deoarece al cincilea postulat definește proprietățile metrice ale unui spațiu omogen , absența sa în geometria absolută înseamnă că metrica spațiului nu este definită, iar majoritatea teoremelor legate de măsurare (cum ar fi teorema lui Pitagora sau suma triunghiurilor unghiurilor teorema ) nu poate fi demonstrată în geometria absolută [6] .

Alte exemple de teoreme care nu sunt incluse în geometria absolută:

Variații și generalizări

În geometria absolută există întotdeauna drepte paralele (vezi teoremele 27 și 28 ale Elementelor lui Euclid , demonstrate fără a ne baza pe postulatul al cincilea), deci geometria sferică , în care nu există drepte paralele, este incompatibilă cu geometria absolută. Cu toate acestea, este posibil să se construiască o axiomatică care să unească toate cele trei tipuri de geometrii non- euclidiene (geometrie euclidiană, sferică și geometrie Lobachevsky) [8] , iar apoi geometria absolută poate fi definită ca parte comună a acestora. Această nouă definiție este mai largă decât cea veche - de exemplu, teorema „suma unghiurilor unui triunghi nu depășește 180 °” încetează să fie adevărată.

Note

  1. ↑ Geometrie absolută // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1977. - T. 1. - S. 34.
  2. ↑ Geometrie superioară, 1971 , p. 88--89.
  3. ↑ Bolai J. Anexă Copie de arhivă din 21 aprilie 2013 la Wayback Machine // On the Foundations of Geometry (colecție de articole), M., GITTL, 1956. Seria „Classics of Natural Science”.
  4. ↑ Matematica secolului al XIX-lea. Volumul II: Geometrie. Teoria funcţiilor analitice / Ed. Kolmogorova A. N. , Iuşkevici A. P. . - M . : Nauka, 1981. - S. 64-65. — 270 s.
  5. ↑ Geometrie superioară, 1971 , p. 14, 67 și următoarele, 89.
  6. ↑ 1 2 school-collection.edu.ru .
  7. ↑ Vezi de exemplu: Gunter Ewald . Geometrie: o introducere. Editura Wadsworth. 1. 1971, 399 pagini. ISBN 0534000347 .
  8. ↑ Peil, Timothy. Axiomele lui Hilbert modificate pentru geometria eliptică plană  . // Studiu de geometrie . Consultat la 18 octombrie 2016. Arhivat din original pe 19 octombrie 2016.

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  În cataloagele bibliografice