Poligon

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 iulie 2022; verificările necesită 7 modificări .

Un poligon este o figură geometrică , definită de obicei ca o parte a unui plan delimitată de o polilinie închisă . Dacă poligonul limită nu are puncte de autointersecție , poligonul se numește simplu [1] . De exemplu, triunghiurile și pătratele sunt poligoane simple, dar o pentagramă nu este.

Punctele de rupere ale poliliniei sunt numite vârfuri ale poligonului, iar legăturile sale sunt numite laturile poligonului. Numărul de laturi ale poligonului este același cu numărul vârfurilor acestuia [2] .

Variante de definiții

Există trei opțiuni diferite pentru definirea unui poligon; cea din urmă definiție este cea mai comună [1] .

O linie întreruptă închisă plată este cazul cel mai general;
O polilinie plată închisă fără auto-intersecții , dintre care două legături adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă;
Partea de plan mărginită de o polilinie închisă fără autointersecții este un poligon plat ; în acest caz polilinia însăși se numește conturul poligonului.

Există, de asemenea, mai multe opțiuni pentru generalizarea acestei definiții, permițând un număr infinit de linii întrerupte, mai multe polilinii de frontieră deconectate, linii întrerupte în spațiu, segmente arbitrare de curbe continue în loc de segmente de linii drepte etc. [1]

Definiții înrudite

Vârfurile unui poligon se numesc vecine dacă sunt capetele uneia dintre laturile acestuia.
Laturile unui poligon sunt numite adiacente dacă sunt adiacente aceluiași vârf.
Lungimea totală a tuturor laturilor unui poligon se numește perimetrul acestuia .
Diagonalele sunt segmente care conectează vârfuri neînvecinate ale unui poligon.
Unghiul (sau unghiul interior ) al unui poligon plat la un punct dat este unghiul dintre două laturi care converg la acel vârf. Unghiul poate depăși dacă poligonul nu este convex. Numărul de colțuri ale unui poligon simplu este același cu numărul laturilor sau vârfurilor acestuia. $180^{\circ }$
Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la acel vârf. În cazul unui poligon neconvex , unghiul exterior este diferența dintre și unghiul interior, poate lua valori de la până la . $180^{\circ }$ $-180^{\circ )$ $180^{\circ }$
O perpendiculară căzută din centrul cercului înscris al unui poligon regulat către una dintre laturi se numește apotema .

Tipuri de poligoane și proprietățile acestora

Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi , cu patru - un patrulater , cu cinci - un pentagon și așa mai departe. Un poligon cu vârfuri se numește -gon . $n$ $n$

Un poligon convex este un poligon care se află pe o parte a oricărei linii care conține latura sa (adică prelungirile laturilor poligonului nu intersectează celelalte laturi ale acestuia). Există și alte definiții echivalente ale unui poligon convex . Un poligon convex este întotdeauna simplu , adică nu are puncte de auto-intersecție.
Un poligon convex se numește regulat dacă are toate laturile și toate unghiurile egale, cum ar fi un triunghi echilateral , un pătrat și un pentagon regulat . Simbolul Schläfli al unui -gon regulat este . $n$ $\{n\)$
Un poligon care are toate laturile și toate unghiurile egale, dar care are auto-intersecții, se numește poligon stelat regulat , de exemplu, pentagramă și octagramă .
Un poligon se numește înscris într- un cerc dacă toate vârfurile lui se află pe același cerc. Cercul în sine se numește circumscris , iar centrul său se află la intersecția perpendicularelor mediale pe laturile poligonului. Orice triunghi este înscris într-un cerc.
Un poligon se numește circumcerc dacă toate laturile lui ating un cerc. Cercul în sine se numește înscris , iar centrul său se află la intersecția bisectoarelor unghiurilor poligonului. Orice triunghi este circumscris unui cerc.
Un patrulater convex se numește necircumscris lângă un cerc dacă prelungirile tuturor laturilor sale (dar nu și ale laturilor în sine) sunt tangente la un cerc. [3] Cercul se numește excerc . Există, de asemenea, un cerc pentru un triunghi arbitrar .

Proprietăți generale

Inegalitatea triunghiului

Inegalitatea triunghiului afirmă că lungimea oricărei laturi a unui triunghi este întotdeauna mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi ale sale: . Inegalitatea triunghiului invers afirmă că lungimea oricărei laturi a unui triunghi este întotdeauna mai mare decât modulul diferenței dintre lungimile celorlalte două laturi ale sale. $a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b$

Inegalitatea patrulaterului

Inegalitatea patrulaterelor - modulul diferenței oricăror două laturi ale unui patrulater nu depășește suma celorlalte două laturi : . $\left|ab\right|\leq c+d$
În mod echivalent: în orice patrulater (inclusiv unul degenerat) suma lungimilor celor trei laturi ale sale nu este mai mică decât lungimea celei de-a patra laturi, adică: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ $b\leq +c+d$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Teorema sumei unghiului poligonului

Suma unghiurilor interioare ale unui gon plat simplu este [4] . Suma unghiurilor externe nu depinde de numărul de laturi și este întotdeauna egală cu $n$ $180^{\circ }(n-2)$ $360^{\circ }.$

Numărul de diagonale

Numărul de diagonale ale oricărui -gon este . $n$ ${\tfrac {n(n-3)}{2))$

Zona

Fie o succesiune de coordonate ale vârfurilor -gonului adiacente unul altuia fără auto-intersecții. Apoi aria sa este calculată prin formula lui Gauss : $\{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n$ $n$

S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}+X_{{i+1}})(Y_{i }-Y_{{i+1}})\dreapta|

, unde .

(X_{{n+1}},Y_{{n+1}})=(X_{1},Y_{1})

Având în vedere lungimile laturilor poligonului și unghiurile azimutale ale laturilor, atunci aria poligonului poate fi găsită folosind formula lui Sarron [5] .

Aria unui -gon obișnuit se calculează cu una dintre formulele [6] : $n$

jumătate din produsul perimetrului -gon și apotema : $n$

$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}{\mathop {{\mathrm {}}}}\,\operatorname {ctg}{\frac {\pi }{n}}$ .

$S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n));$

$S=nr^{2}{\mathop {{\mathrm {tg))))\,{\frac {\pi }{n))$

unde este lungimea laturii poligonului, este raza cercului circumscris, este raza cercului înscris. $A$ $R$ $r$

Pătratarea cifrelor

Cu ajutorul unui set de poligoane, se determină pătratul și aria unei figuri arbitrare pe plan. O cifră se numește pătrat dacă pentru oricare există o pereche de poligoane și , astfel încât și , unde denotă aria . $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\subset F\subset Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Variații și generalizări

Un poliedru este o generalizare a unui poligon în dimensiunea trei, o suprafață închisă compusă din poligoane sau un corp delimitat de acesta.

Note

↑ 1 2 3 Poligon // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 749-752.
↑ 1 2 3 Matematică elementară, 1976 , p. 383-384.
↑ Kartaslov.ru
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 499.
↑ Khrenov L. S. Calcularea ariilor poligoanelor folosind metoda lui Sarron Copie de arhivă din 19 iulie 2020 la Wayback Machine // Educație matematică. 1936. Numărul 6. S. 12-15
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 503-504.

Literatură

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Polygon (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Milliogon
infinit

corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si

Simbolul Schläfli
Poligoane	{unu} {2} {3} {patru} {5} {6} {7} {opt} {9} {zece} {unsprezece} {12} {paisprezece} {cincisprezece} {17} {optsprezece} {douăzeci} {treizeci} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
poligoane stelare	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
parchete plate _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedre obișnuite și parchete sferice	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
poliedre Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
fagurii	{4,3,4}
Poliedre cu patru dimensiuni	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare Nou Britannica (online) Brockhaus
În cataloagele bibliografice	BNF : 12266998h GND : 4175197-8 J9U : 987007563260005171 LCCN : sh85104637 NKC : ph327599