Axiomatica lui Tarski (geometrie)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 martie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Axiomatica lui Tarski este un sistem de axiome ale geometriei euclidiene elementare propus de Alfred Tarski . Remarcabil prin faptul că este formulat în logica de ordinul întâi cu egalitate și nu necesită teoria mulțimilor .

Istorie

Alfred Tarski a lucrat intermitent la axiomatizarea sa din 1926 până la moartea sa în 1983; publicat pentru prima dată în 1959. [1] În special, Tarski a demonstrat că axiomaticile sale sunt complete și consecvente; Mai mult, există un algoritm care vă permite să aflați dacă orice afirmație este adevărată sau falsă. (Această teoremă nu contrazice teorema de incompletitudine a lui Gödel , deoarece nu există mijloace de exprimare a aritmeticii în axiomatica lui Tarski pentru geometrie.)

Principalele lucrări ale lui Tarski și ale studenților săi în această direcție sunt prezentate într-o monografie din 1983. [2] Axiomatica prezentată în această carte constă din 10 axiome și o schemă de axiome .

Axiome

Concepte nedefinite

Lie Between este o relație ternară Bxyz , ceea ce înseamnă că y „se află între” x și z . Cu alte cuvinte, că y este un punct pe xz . (În acest caz, capetele sunt incluse, adică, după cum va rezulta din axiome, Bxxz este adevărat).

Congruența este o relație tetradă wx ≡ yz , adică segmentul wx este congruent cu segmentul yz ; cu alte cuvinte, că lungimea lui wx este egală cu lungimea lui yz .

Axiome

Reflexivitatea congruenței: $xy\equiv yx\,.$

Identitate de congruență: $xy\equiv zz\rightarrow x=y.$

Tranzitivitatea congruenței: $(xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.$

Relația de identitate se află între: $Bxyx\rightarrow x=y.$

Adică, singurul punct de pe segmentul dreptei este punctul însuși .

xx

X

Axioma Pașa : $(Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).$

Două diagonale ale unui patrulater convex trebuie să se intersecteze la un moment dat.

xuvy

Schema axiomelor de continuitate. Fie și formule de ordinul întâi fără variabile libere a sau b . De asemenea, să nu existe variabile libere în sau în . Atunci toate expresiile de următorul tip sunt axiome: $\phi(x)$ $\psi (y)$ $X$ $\psi (y)$ $y$ $\phi(x)$ $\există a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \exists b\,\forall x\,\ total y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].$

Adică, dacă și descriu două seturi de puncte ale fasciculului cu vârful a , dintre care primul este la stânga celui de-al doilea, atunci există un punct b între aceste mulțimi.

\phi(x)

\psi (y)

Limita dimensiunii inferioare : $\exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].$

Adică, există trei puncte necoliniare. Fără această axiomă, teoriile pot fi modelate cu o linie reală unidimensională, un singur punct sau chiar o mulțime goală .

Limita dimensiunii superioare : $(xu\equiv xv\land yu\equiv yv\land zu\equiv zv\land u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).$

Adică, orice trei puncte echidistante de două puncte diferite se află pe o linie. Fără această axiomă, teoria poate fi modelată în spațiu multidimensional (inclusiv tridimensional ).

Axioma despre al cincilea segment: ${(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu \equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.$

Adică, dacă segmentele a 4 perechi marcate din cele două desene din dreapta sunt egale, atunci segmentele din a cincea pereche sunt egale între ele.

Construirea unui segment: $\exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].$

Adică, din orice punct în orice direcție, puteți amâna un segment de o lungime dată.

Note

↑ Tarski, Alfred (1959), Ce este geometria elementară?, în Leon Henkin, Patrick Suppes și Alfred Tarski, Metoda axiomatică. Cu referire specială la geometrie și fizică. Lucrările unui simpozion internațional desfășurat la Univ. din California, Berkeley, Dec. 26, 1957-ian. 4, 1958 , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, p. 16–29 .
↑ Schwabhäuser, W., Szmielew, W., Alfred Tarski, 1983. Metamathematische Methoden in der Geometrie . Springer-Verlag.

Link -uri

Beklemishev L. D. Geometrie elementară din punctul de vedere al logicii. prelegeri ale Școlii de vară „Matematică modernă”, 20-23 iulie 2014.