Combinatoria algebrică este o ramură a matematicii care utilizează metodele algebrei generale , în special teoria grupurilor și teoria reprezentării , în diverse contexte combinatorii și, dimpotrivă, aplică tehnici combinatorii la problemele din algebră .
La începutul sau mijlocul anilor 1990, obiectele combinatorii tipice care au fost luate în considerare în combinatoria algebrică fie aveau un număr mare de simetrii general recunoscute ( schemă de relații , grafice puternic regulate , mulțimi parțial ordonate cu acțiune de grup ) fie aveau o structură algebrică bogată , de obicei , care are surse teoretice ( funcții simetrice , diagrame Young ). Această perioadă este reflectată în Secțiunea 05E, „ Combinatorică algebrică ”, din Clasificarea subiectelor matematice AMS propusă în 1991.
Combinatoria algebrică poate fi considerată ca o ramură a matematicii în care interacțiunea metodelor combinatorii și algebrice este deosebit de puternică și esențială. Astfel de subiecte combinatorii pot fi enumerari de proprietăți sau domenii care implică matroizi , poliedre , posete sau geometrii finite . Din partea algebrei, pe lângă teoria grupurilor și teoria reprezentării, sunt adesea folosite rețele și algebra comutativă . Jurnalul de combinatorică algebrică publicat de Springer-Verlag este o revistă internațională pentru articole din acest domeniu.
Inelul funcțiilor simetrice este un fel de limită a inelelor de polinoame simetrice în n variabile, deoarece n tinde spre infinit. Acest inel servește ca o structură universală în care conexiunile dintre polinoame simetrice pot fi exprimate fără a ține cont de numărul de variabile (dar elementele inelului nu sunt nici polinoame, nici funcții). Printre altele, acest inel joacă un rol important în teoria reprezentării grupurilor simetrice .
O schemă de relații este un set de relații binare care satisfac anumite condiții de compatibilitate. Schemele de relații oferă o abordare consistentă a multor subiecte, cum ar fi schemele combinatorii și teoria codificării [1] [2] . În algebră, schemele relaționale generalizează grupurile , iar teoria schemelor relaționale generalizează teoria caracterelor reprezentărilor liniare ale grupurilor [3] [4] [5] .
Un grafic puternic regulat este definit după cum urmează. Fie G = ( V , E ) un grafic regulat cu v vârfuri și gradul k . Se spune că G este puternic regulat dacă există numere întregi λ și μ astfel încât:
Graficele de acest fel sunt uneori notate srg( v , k , λ, μ).
Unii autori exclud grafurile care satisfac definiția în mod trivial, și anume acele grafuri care sunt uniunea dintre grafuri complete disjunctive (unul sau mai multe) identice [6] [7] , și complementele lor , grafuri Turan .
Diagramele tinere sunt obiecte combinatorii utile în teoria reprezentării și calculul Schubert . Ele oferă o modalitate convenabilă de a descrie reprezentări ale grupurilor simetrice și ale grupurilor liniare complete și permit studierea proprietăților acestor obiecte. Diagramele au fost propuse de Alfred Jung , un matematician la Universitatea din Cambridge , în 1900. În 1903, acestea au fost aplicate studiului grupurilor simetrice de către Ferdinand Georg Frobenius . Mai târziu, teoria lor a fost dezvoltată de mulți matematicieni, printre care Percy McMahon , W. W. D. Hodge , G. de B. Robinson , D.-K. Rota , Alena Lascu , M.-P. Schützenberger și Richard Stanley .
Un matroid este o structură care preia și generalizează noțiunea de independență liniară în spațiile vectoriale . Există multe modalități echivalente de a defini un matroid, iar cele mai importante sunt în termeni de mulțimi independente, baze, mulțimi sau planuri închise, operatori de închidere și funcții de rang.
Teoria matroidelor împrumută foarte mult terminologia din algebra liniară și teoria grafurilor , în principal pentru că folosește abstracții ale diferitelor concepte centrale din aceste domenii, din topologie , optimizare combinatorie , teoria rețelelor și teoria codificării [8] [9] .
O geometrie finită este orice sistem geometric care are doar un număr finit de puncte . Geometria euclidiană obișnuită nu este finită, deoarece linia euclidiană conține infinit de puncte. Geometria bazată pe grafica pe ecranul computerului, unde pixelii sunt considerați puncte, poate fi considerată geometrie finită. Deși există multe sisteme care ar putea fi considerate geometrii finite, accentul este pus pe spații proiective și afine finite din cauza regularității și simplității lor. Alte tipuri semnificative de geometrii finite sunt planele finite Möbius sau planele inverse și planele Laguerre , care sunt exemple de obiecte mai generale numite planuri Benz și omologii lor de dimensiuni mai mari, cum ar fi geometriile de inversare finite .
Geometriile finite pot fi construite folosind algebra liniară , începând cu spații vectoriale peste câmpuri finite . Planurile afine și proiective construite în acest fel sunt numite geometrii Galois . Geometriile finite pot fi, de asemenea, definite pur axiomatic. Cele mai comune geometrii finite sunt geometriile Galois, deoarece orice spațiu proiectiv finit de dimensiunea trei sau mai mult este izomorf cu un spațiu proiectiv peste un câmp finit. Cu toate acestea, în dimensiunea doi, există plane afine și proiective care nu sunt izomorfe cu geometriile Galois, și anume planuri non-desarguesiene . Rezultate similare sunt valabile pentru alte tipuri de geometrii finite.