Plan nondesarguesian

Un plan non- Desarguesian  este un plan proiectiv care nu satisface teorema lui Desargues , cu alte cuvinte, nu este Desarguesian . Teorema lui Desargues este adevărată în toate spațiile proiective de altă dimensiune decât 2 [1] , adică pentru toate geometriile proiective clasice peste un câmp (sau inel de diviziune ), dar Hilbert a constatat că unele plane proiective nu satisfac teorema.

Exemple

Câteva exemple sunt geometrii finite . Pentru un plan proiectiv finit , ordinea este cu o mai mică decât numărul de puncte de pe linie (aceasta este o constantă pentru toate liniile). Câteva exemple de avioane non-desarguesiene:

Clasificare

Potrivit lui Weibel [3] , H. Lenz a dat o schemă de clasificare a planurilor proiective în 1954 [4] și a fost dezvoltată în continuare de A. Barlotti în 1957 [5] . Această schemă de clasificare se bazează pe tipurile de tranzitivitate punct-linie permise de grupul de coliniere al planului și este cunoscută sub numele de clasificarea planului proiectiv Lenz-Barlotti . O listă de 53 de tipuri este dată în cartea lui Dembowski [6] . Un tabel cu rezultatele existenței cunoscute (pentru grupuri de coliniere și planuri care au astfel de grupuri de coliniere) atât pentru cazurile finite, cât și pentru cele infinite se află la pagina 126 a cărții. Potrivit lui Weibel, „36 dintre ele există ca grupuri finite . 7 până la 12 există ca planuri proiective finite și 14 sau 15 există ca planuri proiective infinite.”

Există și alte scheme de clasificare. Una dintre cele mai simple scheme se bazează pe tipul de inel ternar plat , care poate fi folosit pentru a introduce coordonate pe planul proiectiv. Aceste tipuri sunt câmpuri , câmpuri oblice , câmpuri alternative alternative , semicâmpuri câmpuri apropiate [en] , câmpuri apropiate drepte ] , cvasicampuri [en și cvasicampuri drepte [ [7] .

Secțiuni conice

În planul proiectiv desarguesian , secțiunea conică poate fi definită în diferite moduri echivalente. În planurile non-desarguesiene, dovezile de echivalență se dovedesc a fi greșite și diferite definiții pot da obiecte neechivalente [8] . Ostrom T. G. a propus denumirea de concoid pentru aceste figuri asemănătoare secțiunilor conice, dar nu a dat o definiție formală și termenul, aparent, nu a fost utilizat pe scară largă [9] .

Există mai multe moduri de a defini secțiunile conice pe planuri desarguesiene:

  1. Setul de puncte absolute [10] de polaritate este cunoscut sub denumirea de secțiune conică von Staudt . Dacă planul este definit pe un câmp cu caracteristica doi, obținem doar secțiuni conice degenerate .
  2. Setul de puncte de intersecție ale liniilor corespunzătoare a două creioane care sunt conectate proiectiv, dar nu în perspectivă este cunoscut sub numele de conica Steiner . Dacă grinzile sunt cuplate în perspectivă, secțiunea transversală este degenerată.
  3. Mulțimea punctelor ale căror coordonate satisfac o ecuație omogenă ireductibilă de gradul doi.

În plus, pe planul desarguesian finit:

  2. Un set de q + 1 puncte, dintre care trei nu sunt coliniare în PG(2, q ), se numește oval . Dacă q este impar, ovalul este o conică în sensul punctului 3 de mai sus.
  3. Secțiunea conică Ostrom se bazează pe generalizări ale mulțimilor armonice.

Artzi a dat un exemplu de secțiuni conice Steiner pe planul Moufang, care nu sunt secțiuni von Staudt [11] . Garner a dat un exemplu de secțiune conică von Staudt care nu este o secțiune conică Ostrom pe un plan finit al unui semicâmp [8] .

Note

  1. ↑ Teorema lui Desargues este trivial, dar lipsită de sens adevărată în dimensiunea 1. Problema apare doar în dimensiunea 2.
  2. ↑ vezi Room și Kirkpatrick ( 1971 ) pentru o descriere a tuturor celor patru planuri de ordinul 9.
  3. ↑ Weibel, 2007 , p. 1296.
  4. ↑ Lenz, 1954 , p. 20–31.
  5. ↑ Barlotti, 1957 , p. 212–226.
  6. ↑ Dembowski, 1968 , p. 124-5.
  7. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , p. 723, articol despre geometria finită de Leo Storm.
  8. ↑ 12 Garner , 1979 , p. 132–138.
  9. ↑ Ostrom, 1981 , p. 175–196.
  10. ↑ Într-un spațiu cu polaritate (matarea punctelor la linii de ordinul doi cu păstrarea incidenței), un punct este absolut dacă se află pe imaginea sa, iar o linie este absolută dacă trece prin imaginea (punctul) sa.
  11. ↑ Artzy, 1971 , p. 30–35.

Literatură