Funcția algebrică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 18 martie 2022; verificările necesită 2 modificări .

O funcție algebrică este o funcție elementară care, în vecinătatea fiecărui punct al domeniului de definiție , poate fi implicit specificată folosind o ecuație algebrică .

Definiție formală:

O funcție se numește algebrică într-un punct dacă există o vecinătate a punctului în care se află identitatea $F(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ $A=(a_{1},a_{2},\ldots, a_{n})$ $A$

P(F(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=0.

unde este un polinom într-o variabilă. $P$ $n+1$

O funcție se numește algebrică dacă este algebrică în fiecare punct al domeniului său.

De exemplu, o funcție a unei variabile reale este algebrică pe un interval din câmpul numerelor reale , deoarece satisface ecuația $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $(-1,1)$

F^{2}+x^{2}=1.

Există o continuare analitică a funcției la planul complex , cu un segment decupat sau cu două raze decupate și . În acest domeniu, funcția rezultată a unei variabile complexe este atât algebrică, cât și analitică . $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $[-1,1]$ $(-\infty ,-1]$ $[1,\infty )$

Se știe că, dacă o funcție este algebrică într-un punct, atunci este și analitică într-un punct dat. Reversul nu este adevărat. Funcțiile care sunt analitice, dar nu algebrice se numesc transcendentale .

Cazuri speciale

Cazuri particulare de funcții algebrice sunt:

Numerele algebrice și transcendentale

Numerele reale care sunt rădăcina unei ecuații algebrice cu coeficienți raționali se numesc algebrice . Numerele reale care nu sunt rădăcina vreunei ecuații algebrice cu coeficienți raționali se numesc transcendentale .

Toate numerele raționale sunt algebrice. Printre numerele iraționale există atât algebrice, cât și transcendentale. De exemplu, este un număr irațional algebric și este un număr irațional transcendental. ${\sqrt {2}}$ $\pi$

Vezi și

Literatură

Golubev VV Prelegeri despre teoria analitică a ecuațiilor diferențiale. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 p.