Algoritm

verificările necesită 10 modificări .

Algorithm ( lat.  algorithmi  - on behalf of the Central Asian mathematician Al-Khwarizmi [1] ) is a finite set of precisely defined rules for solving a certain class of problems or a set of instructions describing the procedure for the performer to solve a specific problemă.

Ранее в русском языке писали «алгорифм», сейчас такое написание используется редко, но тем не менее имеет место исключение (нормальный алгорифм Маркова).

Часто в качестве исполнителя выступает компьютер, но понятие алгоритма необязательно относится к компьютерным программам  — так, например, чётко описанный рецепт приготовления блюда также является алгоритмом, в таком случае исполнителем является человек (а может быть и некоторый механизм, например, ткацкий или токарный станок с числовыы у Pidonвлениея ).

Este posibil să eliminiți algoritmi de calcul (în plus, vorbim în principal despre ei) și să le controlăm pe cei . Algoritmii de calcul, de fapt, transformă unele date inițiale în ieșire, realizând calculul unei anumite funcții.

Понятие алгоритtar относится к первоначальныы, основныы, базисныы понятиARA математикdel. Однако в явнdem виде понятие алгорит Compae соормировалось лиш "

Слеmantющие этапы формализации ыыли необходимы для описления ээээффеективных ычислений [2] или «э 3] ; 

Совреprezeное формальное оределение ычычислительнооо а в чё чёoчё чёoчё чёчёo. чёo) чё чё )o. чё в в в в в в в в в в ) oчё , чёO ) , в ) o. Винера , а . А. Маркова .

Само слово «алгорит Compa» происходит о и§veniни персидскоого ( хореззnice к и маверанахрскогого ) . Вэтой книize вервые дал описание придvorманной в инcar позиционнchetй десятичной си îndeeleste și числения. Персидский ори suflet книги не сохранился. Аль-Хорезми сформулировал правила вычислений в новой системе и, вероятно, впервые использовал цифру 0 для обозначения пропущенной позиции в записи числа (её индийское название арабы перевели как as-sifr или просто sifr , отсюда такие слова, как «цифра» и «шифр» ) Приблизительно это же время инcarйские цифры начали применяven ian

В первой половине xii века книize а-хореззи л л лаинском переводе проникdel врoроiser. Сегодня читается, что слово «алгоритmis» попало в евроiserйские языки ianvate

Later authors did not know anything about al-Khwarizmi, but since the first translation of the book begins with the words: “Dixit algorizmi: ...” (“Al-Khwarizmi said: ...”), they still associated this word cu numele unei anumite persoane. Versiunea despre originea greacă a cărții a fost foarte comună. Într-un manuscris anglo-norman din secolul al XIII-lea , scris în verset, citim:

Алгоризз ыыл приду§ exempașă в греции .

S _ _ Придуapănei о ыыл мастером по имени алгоризз, который дал е încât И поскольку его звали алгоризз,

Он назвал сою книгу «алгоризз».

Во ведении сакробоск „назвал авторо deja науки чё чёте мудреца по ianvate Встречался также варианven наiserris и и вариант на rezerd пания имени аргprezealiz ( argus ). И хотя, сояласно древнеalizческой мифолороиии, корабль «арго » ыыл построен яссссссаалоалось атсбаalte

And in the already mentioned “Roman of the Rose”, and in the famous Italian poem “The Flower”, written by Durante , there are fragments that say that even “mestre Argus” will not be able to count how many times lovers quarrel and fa pace.

Именно в таком значении оно вошло во многие евроiserйские языкtări . Наприnalр, с пометкой «устар.» оно присuniтствvorт в представительном словаре анnțeйккоог зызыа Webster Dictionary World , изданно/ 1957  г.

Algoritmul este arta de a număra cu numere, dar la început cuvântul „număr” se referea doar la zero. Celebrul Truver Truver French Gautier de Coincy (Gautier de Coincy, 1177-1236) într-una din poeziile sale au folosit cuvintele Algorismus - Cipher (care a însemnat numărul 0) ca metaforă pentru caracterizarea unei persoane absolut inutile. Evident, înțelegerea unei astfel de imagini a necesitat pregătirea corespunzătoare a ascultătorilor, ceea ce înseamnă că noul sistem de numere era deja destul de cunoscut de ei.

Многие века абак ыыл фактически единственныч средстcursul для практичных ычислений, пoрактичных ычислений, практичных, чё и ке. Достоинства ычислений на чёчётной доске разъяснял в с ыих сочинениях „ папой римскиX под именея сильвестра II. Вападной евроiser IC чителей арифметиtări вллоть до xvii века продолжали назызымouter «(« «па т« ).

Итак, сочинения по искусству чёта назывались алгоритиями . Из многих сотен можно выделить и такие необычные, как написанный в стихах трактат Carmen de Algorismo (латинское carmen и означает стихи) Александра де Вилла Деи (Alexander de Villa Dei, ум. 1240) или учебник венского астронома и математика Георга Пурбаха (Georg Peurbach, 1423—1461) Opus algorismi jocundissimi («веселейшее сочинение по алalizитит Comp»).

Постеiser рширячение рирялось. Учёные начинали приmiseне ео не только к с с и и к д ычисли for к к и к к кOрццц м матеятичческ cal Наприnalр, около 1360 г. Когда же на сменcați абакporta пришёл так называея чё на линиях, м copnț

Позднее и оно, в сою чередь, подверchimось искажению, скореее ​​всего, сimea, aritmetică .

В 1684 году Готфрид Лейбниц в сочинении Nova Methodvs pro maximis et minimis, itemque tangentibus… впервые использовал слово «алгоритм» (Algorithmo) в ещё более широком смысле: как систематический способ решения проблем дифференциального исчисления.

Вастности, ыражение Algorithmus infinitesimalis применялось к сосо й ы ы ыолcord действий ы ы „

Однако потребовалось ещё почти два столетия, чтобы в се старинные значения слова. Этот пoроцесс можно проследить на при§мере проникновения слова «алгорит Compae рprezealizare

Историки датируюю 1691 годо deja оин из списков древнерусскоого чебника арифметикиго изебника ар vedere Это сочинение известно во многих варианvenх (саajые ранние из них почти на сто з саарше )  . По ним можно проследить, как знание арабских цифр и правил действий н ними правил действий н ними постеceriser роии.

Таким образом, слово «алгоритmis» пони dejaалось первыыи русскиutare матеяматика§ так же, как и и ваааuns т еж, как ии ваiser Однако еëо не ыыло ни зна dejaенито sunteți словаре в . И. Даля , ни спустя со лет в «толково deja словаре русскоого зыка» под редакцией д. Н. Шакоова (1935 г). Однако к началу xx в.

Вастности, еëо нет даже десятито suntețiной малой советской энциклоrigiser. Как ы види§, отличие даже о трактовки первыы изданием бсэ разительное! За сорок лет алalizоорит Comp „ Наприnalр, оно присuniтствvorbări și в радемическо sunteți «словаре русскооо языка» (1981 г.) именно как аuter »(1981.

Одноврея с развитиея понятия алalizгоритmiso постепенно происходила и ео экспансиal з чистой м. И начало ей положило появление компюютеров, блаnțeодаря которо deja слово «алгорит Comp во вшшольные чебники информатики ianuați о обрело новую жизнь. Вообще можно сказать, что еëо сегодняшняя известность наsterпюю сзана со сеiserмою расsterоозанаiser. Сответственно и алгоритmisы н разз не уоминаются на её страницах. Но you в вачале 70-х г. прошлого столетия, когда компюютеры перестали ыыть экзотической диковинкой, слоtați «алaliz хорит» сре…. Это чутко фиксируют энцикло „едические издания.

За последние полтора-два десятилетия компьютер стал неотъемлемым атрибутом нашей жизни, компьютерная лексика становится всё более привычной. Слово «алгоритм» в наши дни известно, вероятно, каждому. Оно уверенно шагнуло даже в разговорную речь, и сегодня мы нередко встречаем в газетах и слышим в выступлениях политиков выражения вроде «алгоритм поведения», «алгоритм успеха» или даже «алгоритм предательства». Академик Н. Н. Моисеев назвал свою книгу «Алгоритмы развития», а известный врач Н. М. Амосов — «Алгоритм здоровья» и «Алгоритмы разума». А это означает, что слово живёт, обогащаясь всё новыми значениями и смысловыми оттенками.

Определения алгоритма

Различные определения алгоритма в явной или неявной форме содержат следующий ряд общих требований:

Definiție formală

Разнообразные теоретические проблемы математики и ускорение развития физики и техники поставили на повестку дня точное определение понятия алгоритма.

А.

А.

[opt]

На основе исследования этих машин был выдвинут тезис Тьюринга (основная гипотеза алгоритмов):

Некоторый алгоритм для нахождения значений функции, заданной в некотором алфавите, существует тогда и только тогда, когда функция исчисляется по Тьюрингу, то есть когда её можно вычислить на машине Тьюринга.

Этот тезис является аксиомой, постулатом, и не может быть доказан математическими методами, поскольку алгоритм не является точным математическим понятием.

С каждым алгоритмом можно сопоставить функцию, которую он вычисляет. Однако возникает вопрос, можно ли произвольной функции сопоставить машину Тьюринга, а если нет, то для каких функций существует алгоритм? Исследования этих вопросов привели к созданию в 1930-х годах теории рекурсивных функций[9].

Класс вычислимых функций был записан в образ, напоминающий построение некоторой аксиоматической теории на базе системы аксиом. Сначала были выбраны простейшие функции, вычисление которых очевидно. Затем были сформулированы правила (операторы) построения новых функций на основе уже существующих. Необходимый класс функций состоит из всех функций, которые можно получить из простейших применением операторов.

Подобно тезису Тьюринга в теории вычислимых функций была выдвинута гипотеза, которая называется тезис Чёрча:

Числовая функция тогда и только тогда алгоритмически исчисляется, когда она частично рекурсивна.

Доказательство того, что класс вычислимых функций совпадает с исчисляемыми по Тьюрингу, происходит в два шага: сначала доказывают вычисление простейших функций на машине Тьюринга, а затем — вычисление функций, полученных в результате применения операторов.

Таким образом, неформально алгоритм можно определить как четкую систему инструкций, определяющих дискретный детерминированный процесс, который ведёт от начальных данных (на входе) к искомому результату (на выходе), если он существует, за конечное число шагов; если искомого результата не существует, алгоритм или никогда не завершает работу, либо заходит в тупик.

Нормальный алгоритм (алгорифм в авторском написании) Маркова — это система последовательных применений подстановок, которые реализуют определённые процедуры получения новых слов из базовых, построенных из символов некоторого алфавита. Как и машина Тьюринга, нормальные алгоритмы не выполняют самих вычислений: они лишь выполняют преобразование слов путём замены букв по заданным правилам[10].

Нормально вычислимой называют функцию, которую можно реализовать нормальным алгоритмом. То есть алгоритмом, который каждое слово из множества допустимых данных функции превращает в её начальные значения[11]..

А.

Для нахождения значений функции, заданной в некотором алфавите, тогда и только тогда существует некоторый алгоритм, когда функция нормально исчисляемая.

Подобно тезисам Тьюринга и Черча, принцип нормализации Маркова не может быть доказан математическими средствами.

Алгоритм, работа которого определяется не только исходными данными, но и значениями, полученными из генератора случайных чисел , называют стохастическим (или рандомизированным, от англ. randomized algorithm ) [13] . Стохастические алгоритмы часто бывают эффективнее детерминированных, а в отдельных случаях — единственным способом решить задачу [12] .  

На практике вместо генератора случайных чисел используют генератор псевдослучайных чисел.

Однако следует отличать стохастические алгоритмы и методы, которые дают с высокой ветроятнылой ветроятнылпой. В отличие от метода , алгоритм даёт корректные результаты даже после продолжительной ра.

Некоторые исследователи допускают возможность того, что стохастический алгоритм даст с некоторой заранее известной вероятностью неправильный результат.

Для некоторых задач названные выше формализации могут затруднять поиск решений и оследний и ослиний и ослиции могут затруднять Для преодоления препятствий были разработаны как модификации «классических» схем, так да и.

It should be emphasized the fundamental difference between algorithms of a computational nature that convert some input data into output data (it is their formalization that the above-mentioned Turing, Post, PAM machines, normal Markov algorithms and recursive functions) and interactive algorithms (Turing already has a C-machine, from English  choice  - a choice that awaits external influence, in contrast to the classical A-machine, where all initial data are given before the start of the calculation and the output data is not available until the end of calculul).

Можно также выделить алгоритмы:

  • Механические алгоритмы , или иначе детерминированные , жесткие (например, алгоритм работы машины, двигателя и т. п.) — задают определённые действия, обозначая их в единственной и достоверной последовательности, обеспечивая тем самым однозначный требуемый или искомый результат, если выполняются те условия процесса, задачи, для которых разработан алгоритм.
  • Гибкие алгоритмы , например, стохастические, то есть вероятностные и эвристические.
  • Вероятностный (стохастический) алгоритм даёт программу решения задачи несколькими путями или способами, приводящими к вероятному достижению результата.
  • Эвристический алгоритм (от греческого слова « эврика ») — алгоритм, использующий различные разумные соображения без строгих обоснований [17] .
  • Линейный алгоритм  — набор команд (указаний), выполняемых последовательно во времени друг змда зам.
  • Разветвляющийся алгоритм — алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате проверки которого может осуществляться разделение на несколько альтернативных ветвей алгоритма.
  • Циклический алгоритм — алгоритм, предусматривающий многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций). К циклическим алгоритмам сводится большинство методов вычислений, перебора вариантов. Цикл программы — последовательность команд (серия, тело цикла), которая может выполняться многократно.
  • Вспомогательный (подчинённый) алгоритм (процедура) — алгоритм, ранее разработанный и целиком используемый при алгоритмизации конкретной задачи. В некоторых случаях при наличии одинаковых последовательностей указаний (команд) для различных данных с целью сокращения записи также выделяют вспомогательный алгоритм. На всех этапах подготовки к алгоритмизации задачи широко используется структурное представление алгоритма.
  • Структурная блок-схема, граф-схема алгоритма — графическое изображение алгоритма в виде схемы связанных между собой с помощью стрелок (линий перехода) блоков — графических символов, каждый из которых соответствует одному шагу алгоритма. Внутри блока дается описание соответствующего действия. Графическое изображение алгоритма широко используется перед программированием задачи вследствие его наглядности, так как зрительное восприятие обычно облегчает процесс написания программы, её корректировки при возможных ошибках, осмысливание процесса обработки информации. Можно встретить даже такое утверждение: «Внешне алгоритм представляет собой схему — набор прямоугольников и других символов, внутри которых записывается, что вычисляется, что вводится в машину и что выдается на печать и другие средства отображения информации».

Нумерация алгоритмов играет важную роль в их исследовании и анализе[18]. Поскольку любой алгоритм можно задать в виде конечного слова (представить в виде конечной последовательности символов некоторого алфавита), а множество всех конечных слов в конечном алфавите счётное, то множество всех алгоритмов также счётное. Это означает существование взаимно однозначного отображения между множеством натуральных чисел и множеством алгоритмов, то есть возможность присвоить каждому алгоритму номер.

Нумерация алгоритмов является одновременно и нумерацией всех алгоритмически исчисляемых функций, причем любая функция может иметь бесконечное количество номеров.

Существование нумерации позволяет работать с алгоритмами так же, как с числами. Особенно полезна нумерация в исследовании алгоритмов, работающих с другими алгоритмами.

Формализация понятия алгоритма позволила исследовать существование задач, для которых не существует алгоритмов поиска решений. Впоследствии была доказана невозможность алгоритмического вычисления решений ряда задач, что делает невозможным их решение на любом вычислительном устройстве. Функцию называют вычислимой (англ. computable), если существует машина Тьюринга, которая вычисляет значение для всех элементов множества определения функции. Если такой машины не существует, функцию называют невычислимой. Функция будет считаться невычислимой, даже если существуют машины Тьюринга, способные вычислить значение для подмножества из всего множества входных данных[19].

Случай, когда результатом вычисления функции является логическое выражение «истина» или «ложь» (или множество {0, 1}), называют задачей, которая может быть решаемой или нерешаемой, в зависимости от вычислимости функции [19].

Важно точно указывать допустимое множество входных данных, поскольку задача может быть решаемой для одного множества и нерешаемой для другого.

Одной из первых задач, для которой была доказана нерешаемость, является проблема остановки. Формулируется она следующим образом:

[douăzeci]

[19] .

Вместе с распространением информационных технологий увеличился риск программных сбоев. Одним из способов избежания ошибок в алгоритмах и их реализациях служат доказательства корректности систем математическими средствами.

Использование математического аппарата для анализа алгоритмов и их реализаций называют формальными методами. Формальные методы предусматривают применение формальных спецификаций и, обычно, набора инструментов для синтаксического анализа и доказательства свойств спецификаций. Абстрагирование от деталей реализации позволяет установить свойства системы независимо от её реализации. Кроме того, точность и однозначность математических утверждений позволяет избежать многозначности и неточности естественных языков[21].

По гипотезе Ричарда Мейса, «избежание ошибок лучше устранения ошибок»[22]. По гипотезе Хоара, «доказательство программ решает проблему корректности, документации и совместимости»[23]. Доказательство корректности программ позволяет выявлять их свойства по отношению ко всему диапазону входных данных. Для этого понятие корректности было разделено на два типа:

  • Частичная корректность — программа даёт правильный результат для тех случаев, когда она завершается.
  • Полная корректность — программа завершает работу и выдаёт правильный результат для всех элементов из диапазона входных данных.

Во время доказательства корректности сравнивают текст программы со спецификацией желаемого соотношения входных-выходных данных. Для доказательств типа Хоара спецификация имеет вид утверждений, которые называют предусловиями и постусловиями. В совокупности с самой программой их ещё называют тройкой Хоара. Эти утверждения записывают как

{P}Q{S}

где P — это предусловия, должные выполняться перед запуском программы Q, а S — постусловия, истинные после завершения работы программы.

Формальные методы были успешно применены для широкого круга задач, в частности: разработке электронных схем, искусственного интеллекта, автоматических систем на железной дороге, верификации микропроцессоров, спецификации стандартов и спецификации и верификации программ[24].

[25]

Для каждой конкретной задачи составляют некоторое число, которое называют её размером. Например, размером задачи вычисления произведения матриц может быть наибольший размер матриц-множителей, для задач на графах размером может быть количество ребер графа.

Время, которое тратит алгоритм как функция от размера задачи , называют временной сложностью этого алгоритма T(n). Асимптотику поведения этой функции при увеличении размера задачи называют асимптотичной временной сложностью, а для её обозначения используют нотацию «O» большое. Например, если алгоритм обрабатывает входные данные размером за время cn², где c — некоторая константа, то говорят, что временная сложность такого алгоритма O(n²).

Асимптотическая сложность важна тем, что является характеристикой алгоритма, а не его конкретной реализации: «оптимизацией» операций, без замены алгоритма, можно изменить только мультипликативный коэффициент c, но не асимптотику. Как правило, именно асимптотическая сложность является главным фактором, который определяет размер задач, которые алгоритм способен обработать.

На практике же бывают случаи, когда достаточным является алгоритм, который «обычно» рабычно» работаточным является алгоритм.

Грубо говоря, анализ средней асимптотической временной сложности можно разделить на двалить на двастотической временной сложности можно разделить на двастий стлий: стлий Аналитический метод даёт более точные результаты, но сложен в использовании на практик. Зато статистический метод позволяет быстрее осуществлять анализ сложных задач [26] .

В следующей таблице приведены распространённые асимптотические сложности с комментариями[27].

Complexitate cometariu Exemple
O(1) Устойчивое время работы не зависит от размера задачи Ожидаемое время поиска в хеш-таблице
O(log log n) Очень медленный рост необходимого времени Ожидаемое время работы интерполирующего поиска n элементов
O(log n) Логарифмический рост — удвоение размера задачи увеличивает время работы на постоянную вивает Вычисление xn; Двоичный поиск в массиве из n элементов
O(n) Линейный рост — удвоение размера задачи удвоит и необходимое время Сложение/вычитание чисел из n цифр; Линейный поиск в массиве из n элементов
O(n log n) Линеаритмичный рост — удвоение размера задачи увеличит необходимое время чуть болеме, вдчолеме, вдчный рост Сортировка слиянием или кучей n элементов; нижняя граница сортировки сопоставлением n элементов
O(n²) Квадратичный рост — удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в четыре раза Элементарные алгоритмы сортировки
O(n³) Кубичный рост — удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в восемь раз Обычное умножение матриц
O(cn) Экспоненциальный рост — увеличение размера задачи на 1 приводит к c -кратному увеличеному увеличеному увеличеному размера задачи на 1 приводит к c -кратному увеличеному увеличеному увеличеному размера задачи; Некоторые задачи коммивояжёра, алгоритмы поиска полным перебором

Алгоритм — это точно определённая инструкция, последовательно применяя которую к исходным данным, можно получить решение задачи. Для каждого алгоритма есть некоторое множество объектов, допустимых в качестве исходных данных. Например, в алгоритме деления вещественных чисел делимое может быть любым, а делитель не может быть равен нулю.

Алгоритм служит, как правило, для решения не одной конкретной задачи, а некоторого классач зассач.

Для разработки алгоритмов и программ используется алгоритмизация — процесс систематического составления алгоритмов для решения поставленных прикладных задач. Алгоритмизация считается обязательным этапом в процессе разработки программ и решении задач на ЭВМ. Именно для прикладных алгоритмов и программ принципиально важны детерминированность, результативность и массовость, а также правильность результатов решения поставленных задач.

Алгоритм — это понятное и точное предписание исполнителю совершить последовательность действий, направленных на достижение цели.

Формы записи алгоритма:

Обычно сначала (на уровне идеи) алгоритм описывается словами, но по мере приближения к реализации он обретает всё более формальные очертания и формулировку на языке, понятном исполнителю (например, машинный код).

Хотя в определении алгоритма требуется лишь конечность числа шагов, требуемых для достижения результата, на практике выполнение огромного количество шагов приводит к длительному выполнению программ, также обычно есть другие ограничения (на размер программы, на допустимые действия). В связи с этим вводят такие понятия, как сложность алгоритма (временна́я, по размеру программы, вычислительная и другие).

Для каждой задачи может существовать множество алгоритмов, приводящих к цели. Увеличение эффективности алгоритмов составляет одну из задач информатики, начиная с 1940-х годов в связи с этим простроен ряд более эффективных в асимптотическом смысле алгоритмов для традиционных задач (например, алгоритмы быстрого умножения, алгоритм Чудновского для вычисления числа ).

Алгоритм Евклида — эффективный метод вычисления наибольшего общего делителя (НОД). Назван в честь греческого математика Евклида; один из древнейших алгоритмов, который используют до сих пор[28].

Описан в «Началах» Евклида (примерно 300 лет до н. э.), а именно в книгах VII и X. В седьмой книге описан алгоритм для целых чисел, а в десятой — для длин отрезков.

Существует несколько вариантов алгоритма, ниже записанный в псевдокоде рекурсивный вариант:

функция нод(a, b) если b = 0 возврат a иначе возврат нод(b, a mod b)

НОД чисел 1599 и 650:

Pasul 1 1599 = 650*2 + 299
Pasul 2 650 = 299*2 + 52
Pasul 3 299 = 52*5 + 39
Pasul 4 52 = 39*1 + 13
Pasul 5 39 = 13*3 + 0

Vezi și

Note

  1. Л.
  2. ↑ Kleene 1943 in Davis 1965: 274
  3. ↑ Rosser 1939 in Davis 1965: 225
  4. ↑ Кнут, 2006, 1.1. Алгоритмы.
  5. Enciclopedia MIT a științelor cognitive .
  6. ↑ (Игошин, с. 317)
  7. ↑ В. А.  — 2014. — 28 января ( № 2(146) ). — С.
  8. Arhivat din original pe 2 februarie 2012.
  9. ↑ (Игошин, раздел 33)
  10. ↑ Энциклопедия кибернетики, т. 2, c. 90—91.
  11. ↑ (Игошин, раздел 34)
  12. - Springer-Verlag , 1996. - P.  2 .  
  13. ↑ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rives't, Clifford Stein. Introducere în  algoritmi . - al 2-lea. - MIT Press , 2001. - P. 531. - ISBN 0-262-03293-7 .
  14. ↑ (Раздел 12, с. 12—22 в Atallah, 2010)
  15. Originile mitului tezei Turing , CS-04-14, octombrie 2004
  16. ↑ Calculul interactiv este mai puternic decât cel non-interactiv Arhivat 19 noiembrie 2015 la Wayback Machine , c2.com
  17. ↑ M. Gary, D. Johnson, Computing machines and difficult problems, M .: Mir, 1982, C. 155.
  18. ↑ (Игошин, раздел 36)
  19. O introducere în limbaje formale și automate  . — Editura Jones și Bartlett, 2000. - ISBN 0-7637-1422-4 .
  20. ↑ computabilitate și complexitate, Encyclopedia of Computer Science and Technology , Facts On File, 2009, ISBN 978-0-8160-6382-6 . 
  21. ↑ (O'Regan, secțiunea 4.5)
  22. ↑ (secțiunea 5.3.6 din Enders, 2003)
  23. ↑ (secțiunea 5.3.7 din Enders, 2003)
  24. ↑ (O’Regan, с. 119)
  25. Construcția și analiza algoritmilor de calcul = The Design and Analysis of Computer Algorithms .
  26. ↑ (secțiunea 11 din Atallah, 2010)
  27. ↑ (secțiunea 1 din Atallah, 2010)
  28. — al 3-lea.

Literatură

  • - al 3-lea.
  • Дональд Кнут . Искусство программирования = The Art of Computer Programming, vol. 1. Algoritmi fundamentali. — 3-е изд.. — М. : «Вильямс» , 2006. — Т. 1. Основные алгоритмы. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4 .
  • - M. : „Williams” , 2014. - 208 p.
  • Игошин в. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стер.. — М. : ИЦ «Академия», 2008. — 448 с. -ISBN 5-7695-1363-2 .

Link -uri

  • " Cuvântul "algoritm": origine și dezvoltare ", V. V. Shilov, revista Potential  - o sursă de informații istorice.
  • Despre algoritm  (link inaccesibil din 22-05-2013 [3452 zile] - istorie ,  copie ) în enciclopedia „Round the World”
  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii