Analiza Fourier

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 18 martie 2022; verificările necesită 5 modificări .

Analiza Fourier este o direcție în analiză care studiază modul în care funcțiile matematice generale pot fi reprezentate sau aproximate prin suma funcțiilor trigonometrice mai simple . Analiza Fourier își are originea în studiul proprietăților seriei Fourier și este numită după Joseph Fourier , care a arătat că reprezentarea unei funcții ca sumă de funcții trigonometrice simplifică foarte mult studiul transferului de căldură.

Analiza Fourier își găsește aplicație în rezolvarea unei game largi de probleme matematice. În știință și tehnologie, procesul de descompunere a unei funcții în componente oscilatorii se numește analiză Fourier, iar operarea și restaurarea funcțiilor din astfel de părți se numește sinteza Fourier.

De exemplu, pentru a determina ce componente de frecvență sunt prezente într-o notă muzicală, analiza Fourier este aplicată notei muzicale selectate. După aceea, puteți sintetiza același sunet folosind acele componente de frecvență care au fost detectate în timpul analizei.

Procesul de descompunere se numește transformată Fourier .

Aplicație

Analiza Fourier are multe aplicații în știință - în fizică, ecuații diferențiale parțiale, teoria numerelor, combinatorie, procesare a semnalului, procesare digitală a imaginilor, teoria probabilității, statistică, criminalistică, criptografie, analiză numerică, acustică, oceanografie, geometrie, proteine de analiză structurală și altele zone.

Această aplicabilitate largă se datorează multor proprietăți utile ale transformării:

Transformarea este o mapare liniară și, în condiții de normalizare adecvată, de asemenea unitară (această proprietate este cunoscută ca teorema lui Parseval , sau mai general ca teorema lui Plancherel și, în general, datorită noțiunii de dualitate a lui Pontryagin ) [1] .

Transformarea este de obicei reversibilă.
Funcțiile exponențiale sunt funcții proprii pentru operația de diferențiere, ceea ce înseamnă că o astfel de reprezentare transformă ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți în ecuații algebrice obișnuite ( Evans 1998 ). Astfel, este posibil să se analizeze comportamentul sistemelor liniare staționare în mod independent pentru fiecare frecvență.
Datorită teoremei de convoluție, transformările Fourier transformă o operație de convoluție complexă într-o simplă înmulțire, ceea ce înseamnă că astfel de transformări permit calcule cu operații bazate pe convoluție, precum înmulțirea polinoamelor și înmulțirea numerelor mari, într-un mod eficient [2] .
Versiunea discretă a transformării Fourier poate fi calculată rapid de computere folosind algoritmi Fast Fourier Transform (FFT) [3] .

În criminalistică, spectrofotometrele cu infraroșu de laborator folosesc analiza cu transformată Fourier pentru a măsura lungimea de undă a luminii la care un material va absorbi infraroșul. Metoda transformării Fourier este utilizată pentru a decoda semnalele măsurate și pentru a înregistra datele privind lungimea de undă. Și atunci când se folosește un computer, astfel de calcule sunt utilizate rapid, astfel încât un astfel de dispozitiv controlat de computer poate produce un spectru de absorbție în infraroșu în câteva secunde [4] .

Transformarea Fourier este, de asemenea, utilizată pentru a reprezenta în mod compact un semnal. De exemplu, algoritmul de compresie JPEG folosește o modificare a transformării Fourier (transformată cosinus discretă) pentru bucăți mici pătrate ale unei imagini digitale. Componentele Fourier ale fiecărui pătrat sunt rotunjite în jos la o precizie mai mică decât cea aritmetică, iar componentele minore sunt neglijate, astfel încât componentele rămase pot fi stocate foarte compact. În timpul reconstrucției imaginii, fiecare pătrat este restaurat din componentele transformate Fourier aproximativ conservate, care sunt apoi convertite înapoi într-o imagine originală aproximativ restaurată.

Variante ale analizei Fourier

Transformarea Fourier (continuă)

Cel mai adesea, fără nicio calificare, transformata Fourier înseamnă aplicarea unui argument real la funcțiile continue ale transformării, care rezultă într-o funcție continuă a frecvenței, cunoscută sub numele de distribuții de frecvență. O funcție trece în alta, iar operația în sine este reversibilă. Când domeniul funcției de intrare (inițiale) este timpul ( t ) și domeniul funcției inițiale (finale) este frecvența, transformarea funcției s ( t ) la frecvența f este dată de:

S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi ft}\,dt.

Calculul acestei valori pentru toate valorile lui f formează o funcție în domeniul frecvenței. Atunci s ( t ) poate fi reprezentat ca recombinări ale exponenților complecși pentru toate frecvențele posibile:

s(t)=\int _{-\infty }^{\infty}S(f)\cdot e^{2i\pi ft}\,df,

care este formula pentru reciproca numărului complex, S ( f ) , conține atât amplitudinea, cât și faza frecvenței f .

Seria Fourier

Transformarea Fourier a unei funcții periodice, s P ( t ) , cu perioada P , devine o funcție care este un pieptene de Dirac modulat de o succesiune de coeficienți complexi:

S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt

pentru toate valorile întregi ale lui k și unde ∫ P este integrala pe un interval de lungime P.

Transformarea inversă, cunoscută sub numele de seria Fourier, este o reprezentare a lui s P ( t ) în termenii sumei unui număr potențial infinit de sinusoide legate armonic sau funcții exponențiale complexe, fiecare dintre ele având amplitudinea și faza dată de una dintre coeficienții:

s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{2i\pi {\frac {k}{P}}t} \quad {\stackrel {\displaystyle {\mathcal {F}}}{\Longleftrightarrow ))\quad \sum _{k=-\infty}^{+\infty}S[k]\,\delta \left( f-{\frac {k}{P}}\dreapta).

Când s P ( t ) este specificat ca suma periodică a unei alte funcții, s ( t ) :

s_{P}(t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),

coeficienții sunt proporționali cu elementele lui S ( f ) pentru intervale discrete P :

S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\dreapta).

{\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty}^{\infty}s(t-mP)\right)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k }{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,S\left({\frac {k}{P}}\right)))

O condiție suficientă pentru a reconstrui s ( t ) (și astfel S ( f ) ) numai din aceste elemente (adică din seria Fourier) este ca eșantionul diferit de zero s ( t ) să fie limitat la un interval cunoscut de lungime P , cu dublarea domeniului de frecvență în conformitate cu teorema de eșantionare Nyquist-Shannon .

Vezi și

Note

↑ Rudin, 1990 .
↑ Knuth, 1997 .
↑ Conte, de Boor, 1980 .
↑ Saferstein, Richard. Criminalistica: o introducere în știința criminalistică (engleză) . — 2013.

Literatură

Conte, SD; deBoor, Carl. Analiza numerică elementară . - Al treilea. - New York: McGraw Hill, Inc., 1980. - ISBN 0-07-066228-2 .
Evans , L. Ecuații cu diferențe parțiale . - Societatea Americană de Matematică, 1998. - ISBN 3-540-76124-1 .
Howell, Kenneth B. Principiile analizei Fourier . - CRC Press , 2001. - ISBN 978-0-8493-8275-8 .
Kamen, E. W.; Heck, BS Fundamentele semnalelor și sistemelor care utilizează web și Matlab . - 2. - Prentiss-Hall, 2000. - ISBN 0-13-017293-6 .
Knuth, Donald E. Arta programării computerelor Volumul 2 : Algoritmi semimerici . — al 3-lea. - Addison-Wesley Professional , 1997. - P. Secțiunea 4.3.3.C: Transformate Fourier discrete, pg.305. — ISBN 0-201-89684-2 .
Müller, Meinard. Transformarea Fourier pe scurt . - Springer, 2015. - P. În Fundamentals of Music Processing , Secțiunea 2.1, p. 40-56. — ISBN 978-3-319-21944-8 . - doi : 10.1007/978-3-319-21945-5 .
Polyanin, AD; Manzhirov, A. V. Manual de ecuații integrale (engleză) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Rudin, Walter. Analiza Fourier pe grupuri . - Wiley-Interscience , 1990. - ISBN 0-471-52364-X .
Smith, Steven W. Ghidul omului de știință și al inginerului pentru procesarea semnalului digital . - Al doilea. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-3-3 .
Stein, E.M.; Weiss, G. Introducere în analiza Fourier asupra spațiilor euclidiene . — Princeton University Press , 1971. — ISBN 0-691-08078-X .

Link -uri

Tabele de transformări integrale la EqWorld: lumea ecuațiilor matematice.
O explicație intuitivă a teoriei Fourier de Steven Lehar.
Prelegeri despre procesarea imaginilor: O colecție de 18 prelegeri în format pdf de la Universitatea Vanderbilt. Cursul 6 este despre transformata Fourier 1- și 2-D. Prelegerile 7-15 îl folosesc. de Alan Peters
Moriarty, Filip; Bowley, Roger ∑ Însumarea (și analiza Fourier) . Șaizeci de simboluri . Brady Haran pentru Universitatea din Nottingham (2009). (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX527483 BNF : 11942178c GND : 4023453-8 J9U : 987007548251005171 LCCN : sh85051088 NKC : ph117564 SUDOC : 04070890X , 027363988