Analiza (o ramură a matematicii)

Analiza ca ramură modernă a matematicii este o parte semnificativă a matematicii , care din punct de vedere istoric a apărut din analiza matematică clasică și, pe lângă calculul diferențial și integral , inclus în partea clasică, acoperă secțiuni precum teoria funcțiilor. variabilelor reale și complexe , teoria ecuațiilor diferențiale și integrale , calculul variațiilor , analiza armonică , analiza funcțională , teoria sistemelor dinamice și teoria ergodică , analiză globală . Analiza non-standard  este o secțiune la intersecția dintre logica matematică și analiză, care aplică metodele teoriei modelelor pentru formalizarea alternativă, în primul rând a secțiunilor clasice.

Este considerată una dintre cele trei domenii principale ale matematicii, împreună cu algebra și geometria . Principala trăsătură distinctivă a analizei în comparație cu alte domenii este prezența funcțiilor variabilelor ca subiect de studiu. În același timp, dacă secțiunile elementare de analiză din curriculum și materiale sunt adesea combinate cu algebra elementară (de exemplu, există numeroase manuale și cursuri numite „Algebra și începuturile analizei”), atunci analiza modernă folosește în mare măsură metodele de secțiuni geometrice moderne, în primul rând geometrie și topologie diferențială .

Istorie

Separați ramuri de „analiza infinitezimale”, cum ar fi teoria ecuațiilor diferențiale obișnuite ( Euler , Johann Bernoulli , D'Alembert ), calculul variațiilor (Euler, Lagrange ), teoria funcțiilor analitice (Lagrange, Cauchy , mai târziu). Riemann ), a început să se separe și mai mult în secolul XVIII - prima jumătate a secolului al XIX-lea. Totuși, începutul formării analizei ca secțiune modernă independentă este considerat a fi lucrările de la mijlocul secolului al XIX-lea privind formalizarea conceptelor cheie ale analizei clasice - număr real , funcție , limită , integrală , în primul rând în lucrările lui Cauchy și Bolzano și a dobândit o formă finită în anii 1870 - 1880 în lucrările lui Weierstrass , Dedekind și Cantor [1] . În acest sens, s-a format teoria funcțiilor unei variabile reale și, în dezvoltarea metodelor de lucru cu funcții analitice, teoria funcțiilor unei variabile complexe . Teoria multimilor naiva creata de Cantor la sfarsitul secolului al XIX-lea a dat impuls aparitiei conceptelor de spatii metrice si topologice , care au schimbat semnificativ intregul set de instrumente de analiza, ridicand nivelul de abstractizare a obiectelor studiate si deplasand focalizarea. de la numere reale la concepte nenumerice.

La începutul secolului al XX-lea, în principal de către forțele școlii franceze de matematică ( Jordan , Borel , Lebesgue , Baer ), a fost creată teoria măsurii , datorită căreia a fost generalizat conceptul de integrală și teoria funcțiilor de a fost construită și o variabilă reală . Tot la începutul secolului al XX-lea, analiza funcțională a început să se formeze ca o subsecțiune independentă a analizei moderne, studiind spațiile vectoriale topologice și mapările acestora . Termenul de „analiza funcțională” a fost introdus de Hadamard , desemnând o ramură a calculului variațiilor dezvoltată la începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea de un grup de matematicieni italieni și francezi (inclusiv Volterra , Artsela ). În 1900, Fredholm a publicat un articol despre ecuațiile integrale, care a dat impuls atât dezvoltării teoriei ecuațiilor integrale și teoriei generale a integrării ( Lebesgue ), cât și formării analizei funcționale [2] . În 1906 Hilbert a conturat teoria spectrală , în același an fiind publicată lucrarea lui Fréchet , în care spațiile metrice abstracte au fost introduse în analiză pentru prima dată [3] . În anii 1910 - 1920, conceptele de separabilitate au fost rafinate și metodele topologice generale au fost aplicate pentru prima dată analizei ( Hausdorff ), spațiile funcționale au fost stăpânite și a început formarea unei teorii generale a spațiilor normate (Hilbert, Rees , Banach , Hahn ) . În perioada 1929-1932 s-a format o teorie axiomatică a spațiilor Hilbert ( John von Neumann , Marshall Stone , Rees). În 1936, Sobolev a formulat conceptul de funcție generalizată (mai târziu în anii 1940, independent de el, Laurent Schwartz a ajuns la un concept similar ), care a devenit larg răspândit în multe secțiuni de analiză și a găsit o aplicare largă în aplicații (de exemplu, Dirac funcția este generalizată ). În anii 1930-1950, s-au obținut rezultate semnificative în analiza funcțională prin utilizarea instrumentelor algebrice generale ( rețele vectoriale , algebre operator , algebre Banach ).

Până la mijlocul secolului al XX-lea, domenii precum teoria sistemelor dinamice și teoria ergodică ( George Birkhoff , Kolmogorov , von Neumann) au primit o dezvoltare independentă, rezultatele analizei armonice au fost generalizate semnificativ prin utilizarea mijloacelor algebrice generale - grupuri topologice și reprezentări ( Weil , Peter , Pontryagin ). Începând cu anii 1940 - 1950, metodele de analiză funcțională și-au găsit aplicații în domenii aplicate, în special, în lucrările lui Kantorovich din anii 1930 - 1940, instrumentele de analiză funcțională au fost utilizate în matematică și economie computațională ( programare liniară ). În anii 1950, în lucrările lui Pontryagin și studenților, teoria controlului optim a fost creată în dezvoltarea metodelor de calcul al variațiilor .

Începând din a doua jumătate a secolului XX, odată cu dezvoltarea topologiei diferențiale , o nouă direcție s-a alăturat analizei - analizei pe varietăți , numită „analiza globală” , care de fapt a început să se formeze mai devreme, în anii 1920, în cadrul a teoriei Morse ca o generalizare a calculului variațiilor (numit Morse „calcul variațiilor în general”, calculul variațiilor în limba engleză în mare ). Această zonă include astfel de domenii create în dezvoltarea teoriei bifurcațiilor sistemelor dinamice ( Andronov ) precum teoria singularităților ( Whitney , 1955 ) și teoria catastrofelor ( Tom , 1959 și Mather , 1965 ), care au fost dezvoltate în 1970 în lucrările lui Zieman și Arnold .  

La începutul anilor 1960, Robinson a creat o analiză non-standard  - o formalizare alternativă atât a domeniilor de analiză clasice, cât și a celor conexe, folosind instrumente de teorie a modelelor . Dacă la început analiza non-standard a fost considerată doar ca o tehnică logică de fundamentare a conceptelor slab formalizate în secțiunile clasice (în primul rând, cantități infinit de mari și infinit de mici ), atunci odată cu dezvoltarea la sfârșitul anilor 1970 de către Nelson ( engleza Edward Nelson ) din teoria mulțimilor interne și generalizările ulterioare, s-a dovedit că construcțiile analizei non-standard sunt aplicabile în aproape toate ramurile matematicii, așa cum sunt în mod natural inerente oricăror obiecte matematice [4] . În plus, datorită expresivității limbajului analizei non-standard, mijloacele sale au relevat rezultate care nu s-au găsit în analiza clasică, dar în același timp, în principiu, puteau fi obținute prin mijloace standard, clasice [5] . Tot în anii 1970 - 1980, în dezvoltarea metodei de forțare (creată de Cohen pentru a demonstra indecizia ipotezei continuumului în ZFC ), în lucrările lui Solovay , Scott și Vopěnka ( ceh. Petr Vopěnka ) , teoria S-au dezvoltat modele valoroase booleene , pe baza cărora s-a conturat o ramură independentă de analiză non-standard - Analiza valorică booleană [6] .  

Analiza matematică clasică

Analiza matematică clasică - o secțiune care de fapt corespunde complet cu „ analiza infinitezimale ” istorică, constă din două componente principale: calcul diferențial și integral . Conceptele principale sunt limita unei funcții , diferenţială , derivată , integrală , principalele rezultate sunt formula Newton-Leibniz , care leagă integrala definită şi antiderivată , iar seria Taylor este  extinderea în serie a unei funcţii infinit derivabile în vecinătatea unui punct.

Termenul „analiza matematică” este de obicei înțeles ca această secțiune clasică, în timp ce este folosit în principal în programe și materiale. În același timp, studiul fundamentelor de analiză este inclus în majoritatea programelor de învățământ secundar , iar un studiu mai mult sau mai puțin complet al subiectului este inclus în programele primilor ani de învățământ superior pentru o gamă largă de specialități, inclusiv multe științe umaniste. În tradiția educațională anglo-americană, termenul „calcul” ( în engleză  calcul ) este folosit pentru a se referi la analiza matematică clasică .

Teoria funcțiilor unei variabile reale

Teoria funcțiilor unei variabile reale (numită uneori pe scurt - teoria funcțiilor ) a apărut ca urmare a formalizării conceptelor de număr real și de funcție [7] : dacă în secțiunile clasice de analiză doar funcțiile care apar în problemele specifice au fost considerate în mod natural, apoi în teoria funcțiilor funcțiile în sine devin subiect de studiu, comportamentul lor, corelațiile proprietăților lor sunt studiate. Unul dintre rezultatele care ilustrează specificul teoriei funcțiilor unei variabile reale [8]  este faptul că o funcție continuă poate să nu aibă în niciun moment o derivată (mai mult, conform ideilor anterioare ale analizei matematice clasice, diferențiabilitatea tuturor funcțiile continue nu a fost pusă la îndoială).

Principalele direcții ale teoriei funcțiilor unei variabile reale [9] :

Teoria funcțiilor unei variabile complexe

Subiectul de studiu al teoriei funcțiilor unei variabile complexe îl reprezintă funcțiile numerice definite pe planul complex sau spațiul euclidian complex , în timp ce cele mai amănunțite studiate sunt funcțiile analitice care joacă un rol important de legătură pentru aproape toate ramurile analizei matematice. În special, conceptul de funcție analitică a fost generalizat pentru spații Banach arbitrare , astfel multe rezultate ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe au fost generalizate în analiza funcțională.

Analiză funcțională

Analiza funcțională ca secțiune se caracterizează prin prezența ca subiect de studiu a spațiilor vectoriale topologice și mapările acestora cu diverse condiții algebrice și topologice impuse acestora [11] . Spațiile funcționale joacă un rol central în analiza funcțională, un exemplu clasic fiind spațiile tuturor funcțiilor măsurabile , al căror grad este integrabil; în plus, este deja  un spațiu infinit-dimensional (spațiul Hilbert ), iar spațiile de dimensiuni infinite sunt inerente analizei funcționale într-o asemenea măsură încât uneori întreaga secțiune este definită ca o parte a matematicii care studiază spațiile infinit-dimensionale și mapările lor. [12] . Cea mai importantă formă de spații din secțiunile clasice de analiză funcțională sunt spațiile Banach  - spații vectoriale normate, complete în metrica generată de normă: o proporție semnificativă de spații interesante în practică sunt astfel, printre acestea se numără toate spațiile Hilbert, spațiile , Spații rezistente , spații Sobolev . Un rol important în analiza funcțională îl au structurile algebrice care sunt spații Banach - rețele Banach și algebre Banach (inclusiv --algebre , algebre von Neumann ).

Teoria operatorilor , care studiază operatorii liniari mărginiți  , este o subsecțiune majoră a analizei funcționale, incluzând teoria spectrală , teoriile diferitelor clase de operatori (în special, compacti , Fredholm , operatori închiși ), teoria operatorilor pe spații normate speciale (pe Hilbert spatii - operatori autoadjuncti , normali , unitari , pozitivi , pe spatii functionale - operatori diferential , pseudo -diferential , integral si pseudo -integral si altele), teoria subspatiilor invariante , teoria claselor de operatori - operator algebre , operator semigrupuri și altele.

Calculul variațiilor

Obiectul principal de studiu al calculului variațiilor îl constituie variațiile funcționalelor , cu ajutorul cărora se rezolvă probleme extreme, în funcție de alegerea uneia sau mai multor funcții variabile. O problemă variațională tipică este de a găsi o funcție care satisface condiția de staționaritate pentru o anumită funcționalitate dată, adică o funcție ale cărei perturbații infinitezimale nu provoacă o modificare a funcționalului, cel puțin în primul ordin al micii. Calculul clasic al variațiilor a avut o mare influență instrumentală asupra multor ramuri ale fizicii ( principiile variaționale ale mecanicii și-au găsit o largă aplicație în electrodinamică , mecanică cuantică ). Teoria controlului optim  este aplicarea metodelor de calcul al variațiilor pentru o clasă mult mai largă de probleme: determinarea celor mai buni parametri ai sistemelor în condiții în care parametrii de control pot lua și valori la limită.

Analiza armonică

Principiul principal al analizei armonice este reducerea problemelor de analiză la studiul instrumentelor pentru funcțiile armonice și generalizările acestora. Analiza armonică clasică include ca mijloc principal al teoriei seriilor trigonometrice , transformatele Fourier , funcțiile aproape periodice , seria Dirichlet [13] .

În analiza armonică abstractă, metodele clasice sunt generalizate la structuri abstracte folosind concepte precum măsura Haar și reprezentările de grup [14] . Cel mai important rezultat al analizei armonice comutative este teorema dualității lui Pontryagin , datorită căreia aproape toate rezultatele clasice ale analizei armonice sunt descrise prin mijloace algebrice generale relativ simple. O dezvoltare ulterioară a teoriei este analiza armonică necomutativă, care are aplicații importante în mecanica cuantică .

Ecuații diferențiale și integrale

În legătură cu ecuațiile diferențiale , în analiză se disting două direcții principale - teoria ecuațiilor diferențiale obișnuite și teoria ecuațiilor diferențiale parțiale (în materialele educaționale și unele clasificări care apar ca „ecuații ale fizicii matematice”, încă de la studiul unei astfel de clase). de ecuaţii este conţinutul principal al fizicii matematice ) .

În teoria ecuațiilor integrale , în plus față de metodele clasice de soluție, există domenii precum teoria Fredholm , care a avut un impact semnificativ asupra formării analizei funcționale, ca secțiune independentă, în special, a contribuit la formarea conceptul de spațiu Hilbert .

Teoria sistemelor dinamice și teoria ergodică

Din principalele domenii de studiu ale ecuațiilor diferențiale s-au remarcat ca secțiuni independente teoria sistemelor dinamice , care studiază evoluția sistemelor mecanice în timp, și teoria ergodică , care vizează fundamentarea fizicii statistice . În ciuda naturii aplicate a problemelor, aceste secțiuni includ o gamă largă de concepte și metode de semnificație matematică generală, în special, cum sunt conceptele de stabilitate și ergodicitate .

Analiză globală

Analiza globală  este o ramură a analizei care studiază funcțiile și ecuațiile diferențiale pe varietăți și mănunchiuri vectoriale [15] ; uneori, această direcție este denumită „analiza asupra varietăților”.

Una dintre primele domenii de analiză globală este teoria Morse și aplicarea ei la problemele de geodezică pe varietăți riemanniene ; direcția a fost numită „calcul variațiilor în general”. Rezultatele principale sunt lema Morse , care descrie comportamentul funcțiilor netede pe varietăți netede în puncte singulare nedegenerate și un astfel de invariant de homotopie precum categoria Lyusternik-Shnirelman . Multe dintre construcții și enunțuri sunt generalizate în cazul varietăților cu dimensiuni infinite ( varietăți Hilbert , varietăți Banach ). Rezultatele obținute în cadrul analizei globale a punctelor singulare și-au găsit o largă aplicație pentru rezolvarea problemelor pur topologice, cum ar fi, de exemplu, teorema de periodicitate a lui Bott , care a servit în mare măsură drept bază pentru o secțiune independentă de matematică - teorie . , precum și teorema despre -cobordism , a cărei consecință este îndeplinirea conjecturei Poincaré pentru dimensiuni mai mari de 4.

Un alt bloc major de domenii de analiză globală care a fost utilizat pe scară largă în fizică și economie este teoria singularităților , teoria bifurcațiilor și teoria catastrofelor ; direcția principală de cercetare în acest bloc este clasificarea comportării ecuațiilor sau funcțiilor diferențiale în vecinătatea punctelor critice și identificarea trăsăturilor caracteristice ale claselor corespunzătoare.

Analiză non-standard

Analiza non-standard este formalizarea conceptelor cheie ale analizei prin intermediul logicii matematice , ideea principală este actualizarea formală a unor valori infinit de mari și infinitezimale și formalizarea logică a manipulărilor cu acestea. În același timp, instrumentele de analiză non-standard se dovedesc a fi foarte convenabile: au obținut rezultate care nu au fost găsite anterior prin mijloace clasice din cauza lipsei de vizibilitate [5] .

Analiza non-standard este împărțită în două domenii: semantică, folosind instrumente teoretice de model și sintactică, folosind diverse extensii ale teoriei mulțimilor standard . Direcția semantică se bazează pe teorema locală Maltsev , care permite transferul proprietăților din părțile locale ale modelelor către întregul model [16] . Există o mare ramură independentă a direcției semantice a analizei non-standard - analiza valorică booleană, construită în jurul conceptului de model valorizat boolean [17] . Direcția sintactică se bazează pe teoria mulțimilor interne , ideea-cheie a căreia este introducerea conceptului de elemente non-standard și a predicatului de standarditate și axiomatizarea proprietăților lor inerente. O altă variantă a formalizării sintactice este teoria mulțimilor alternativă [18] .

Aplicații

Note

  1. ↑ Matematică, 1956 , §7. Matematică modernă // A. D. Aleksandrov, p. 55.
  2. ↑ Dieudonné, 1981 , §1. Descoperirea lui Fredholm, p. 97.
  3. ↑ Dieudonné, 1981 , Capitolul V. Anii cruciali și definiția spațiului Hilbert, p. 97.
  4. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , ... analiza non-standard a fost considerată ca o tehnică logică destul de subtilă și chiar exotică menită să justifice metoda numerelor reale infinit de mari și infinit de mici <...> La sfârșitul anilor '70, după publicarea teoriei mulțimilor interne de E. Nelson (și ceva mai târziu teoriile mulțimilor externe de K. Hrbachek și T. Kawai), opiniile asupra locului și rolului analizei non-standard au fost radical îmbogățite și schimbate. În lumina noilor descoperiri, a devenit posibil să se considere elemente non-standard <...> ca părți integrante ale oricăror obiecte matematice familiare. A luat naștere o atitudine, constând în faptul că fiecare set este format din elemente standard și nestandard, p. viii.
  5. ↑ 1 2 Analiză (secțiunea de matematică) - articol din Enciclopedia Matematică . Dragalin A. G. Cu ajutorul lui N. a. au fost descoperite o serie de fapte noi. Multe clasice. dovezile beneficiază considerabil de claritate atunci când sunt prezentate prin metode de analiză non-standard
  6. ↑ A. G. Kusraev, S. S. Kutateladze. Introducere în analiza valorilor booleene. — M .: Nauka, 2005. — 526 p. — ISBN 5-02-033710-2 .
  7. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , Ca urmare a construcției sistematice a analizei matematice pe baza unei riguroase teorii aritmetice a numerelor iraționale și a teoriei mulțimilor, a apărut o nouă ramură a matematicii - teoria funcțiilor unei variabile reale.
  8. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , pentru teoria funcțiilor unei variabile reale, interesul pentru elucidarea completă a domeniului real al conceptelor generale de analiză este tipic (la începutul dezvoltării acesteia, B. Bolzano și mai târziu K. Weierstrass, de exemplu, a descoperit că o funcție continuă poate să nu aibă o derivată a fiecăreia la un moment dat).
  9. ↑ Teoria funcțiilor // Marea enciclopedie sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
  10. ↑ Matematică, 1956 , §7. Matematică modernă // A. D. Alexandrov), p. 56.
  11. ↑ Dieudonné, 1981 , Se pot da multe definiții pentru „Analiza funcțională”. Numele său ar putea sugera că conține toate părțile matematicii care se ocupă de funcții, dar asta ar însemna practic toată Analiza matematică. Vom adopta o definiție mai restrânsă: pentru noi, va fi studiul spațiilor vectoriale topologice și al mapărilor dintr-o parte a unui spațiu vectorial topologic într-un spațiu vectorial topologic , aceste mapări presupunând că satisfac diverse condiții algebrice și topologice, p. unu.
  12. ↑ Analiza funcțională // Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
  13. ↑ Analiza armonică - articol din Encyclopedia of Mathematics . E. M. Nikitin
  14. ↑ Analiza armonică abstractă - articol din Enciclopedia Matematică . E. A. Gorin, A. I. Stern
  15. ↑ Smale S. Ce este analiza globală?  (engleză)  // American Mathematical Monthly. - 1969. - Vol. 76 , nr. 1 . - P. 4-9 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
  16. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , A. Robinson sa bazat pe teorema locală a lui A. I. Maltsev, evidențiind-o ca rezultat al „semnificației fundamentale pentru teoria noastră”, p. unsprezece.
  17. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , p. xi.
  18. ↑ P. Vopenka. Matematica in teoria multimelor alternativa = Mathematics in The Alternative Set Theory / tradus de A. Dragalin. — M .: Mir, 1983. — 152 p. — (Nou în matematică străină). - 6000 de exemplare.

Literatură

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
 Ramuri ale matematicii
Portalul „Știință”
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii
Teoria numerelor ( aritmetică )
  • Portalul „Matematică”
  • Categoria „Matematică”