Tensorul câmpului electromagnetic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 septembrie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Tensorul câmpului electromagnetic este un tensor antisimetric dublu covariant , care este o generalizare a intensității câmpului electric și a inducției câmpului magnetic pentru transformări arbitrare de coordonate. Este folosit pentru formularea invariantă a ecuațiilor electrodinamicii , în special, poate fi folosit pentru a generaliza cu ușurință electrodinamica în cazul prezenței unui câmp gravitațional .

Definiție

Tensorul câmpului electromagnetic este definit în termenii potențialului 4 prin formulă

\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu )){\partial x^{\mu ))} - {\frac {\partial A_{\mu )){\partial x^{\nu ))}.

Deși exprimat în termeni de derivate obișnuite mai degrabă decât de derivate covariante , este un tensor sub transformări arbitrare de coordonate. Aceasta rezultă din faptul că aceeași expresie poate fi scrisă în termeni de derivate covariante:

\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu )){\partial x^{\mu ))} - {\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\nabla _{\mu }A_{\nu }-\nabla _{\nu }A_{\mu }.

Dacă considerăm potențialul 4 ca o formă 1 pe spațiu-timp , atunci tensorul câmpului electromagnetic este exprimat ca o derivată externă

F=\mathbf {d} A.

Prin urmare, invarianța sa este, de asemenea, evidentă.

Proprietăți

$F_{{\mu \nu ))$ este un tensor antisimetric de rangul 2, are 6 componente independente.
Transformările de coordonate păstrează doi invarianți care urmează din proprietățile tensorului câmpului [1] :

\ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv)),

{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \sigma \rho}F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho}=-4\left(\mathbf {E } \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.

Expresie pentru componente

Componentele covariante ale tensorului câmpului electromagnetic au forma

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_ {y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.

O astfel de dependență a tensorului antisimetric de doi vectori se scrie în mod convențional ca

F_{\mu \nu }=(\mathbf {E},\mathbf {B}).

Componentele contravariante (într-un spațiu cu metrica Minkowski ) sunt de forma

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{ y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},

care este notat ca

F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E},\mathbf {B}).

Astfel, rezultă că vectorii câmpurilor electrice și magnetice sunt transformați în cazul general al transformărilor liniare nu ca vectori, ci ca componente ale unui tensor de tip (0, 2). Legea transformărilor lor în timpul tranziției la un cadru de referință care se deplasează cu o viteză V de-a lungul axei X are forma

{\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z }'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_ {x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{ 2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{aliniat}}

Aplicație

Rezultă direct din definiţie că

\mathbf {d} F=0.

În componente, această expresie ia forma

\varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma} {\frac {\partial F_{\mu \rho }} {\partial x^{\nu })}={\frac {\partial F_{ \mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0,

unde este simbolul Levi-Civita pentru spațiul cu 4 dimensiuni. Dacă scriem această expresie în termenii componentelor vectorilor câmpului electric și magnetic, atunci ea va coincide cu prima pereche de ecuații lui Maxwell : $\varepsilon _{{\mu \rho \nu \sigma ))$

\operatorname {div} \mathbf {B} =0,

\operatorname {putrezire} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)).

A doua pereche de ecuații lui Maxwell este exprimată în termeni de tensor al câmpului electromagnetic ca

\nabla _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },

unde este vectorul cu 4 curenti. $j^{\mu }$

Le puteți scrie și prin asteriscul Hodge :

d*F={\frac {4\pi }{c}}J.

Forța Lorentz este exprimată în termeni de vectorul cu 4 viteze al particulei și sarcina prin formula

{\mathcal {F}}^{\nu }=qF^{\mu \nu }u_{\mu }.

Vezi și

Tensorul energiei electromagnetice-impuls

Note

↑ Invarianții câmpului electromagnetic // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .