Progresii aritmetice ale numerelor prime

Mai multe numere prime pot fi membre ale unei progresii aritmetice .

Toate secvențele de numere prime care sunt elemente strict consecutive ale unei progresii aritmetice sunt finite, dar există astfel de secvențe arbitrar lungi (vezi teorema Green-Tao ).

Exemple de numere prime în progresie aritmetică

lungime	diferență	ulterior
3	2	3, 5, 7
5	6	5, 11, 17, 23, 29
6	treizeci	7, 37, 67, 97, 127, 157
7	150	7, 157, 307, 457, 607, 757, 907
zece	210	199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089
12	13860	110437, 124297, 138157, 152017, 165877, 179737, 193597, 207457, 221317, 235177, 249037, 262897
13	30030	14933623 14963653 14993683 15023713 15053743 15083773 15113803 15143833 15173863 15203893 15203893 15213523

Începând cu 2020, cele mai lungi secvențe cunoscute de acest tip au o lungime de 27, de exemplu:

224 584 605 939 537 920 + 81 292 139 23# n , unde n =0..26, 23# este primarul numărului 23, egal cu 223 092 870 . [unu]

O estimare pentru numerele minime în progresii de o lungime dată

Pentru orice număr natural , există o progresie aritmetică a numerelor prime de lungime , ale căror membri nu sunt mai mari decât . [2] $k$ $k$ ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{100k))))))))))))$

Secvențe fără goluri

Se poate cere să nu existe alte numere prime între membrii adiacenți ai progresiei, adică ca progresia să facă parte dintr-o succesiune comună de numere prime.

Exemple de numere prime în progresie aritmetică fără goluri

lungime	diferență	ulterior
3	2	3, 5, 7
patru	6	251, 257, 263, 269
5	treizeci	9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139
6	treizeci	121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961

Cea mai lungă secvență cunoscută de acest tip are o lungime de 10.

Din 2017, sunt cunoscute doar 2 astfel de secvențe [3] :

1 180 477 472 752 474 193# + x 77 + 210 n , pentru n =0..9 (93 de cifre), 507 618 446 770 482 193# + x 77 + 210 n , pentru n =0..9 (93 de cifre),

Unde

x 77 = 545382416838875850000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007 _ a 193# este primarul numărului 193, adică produsul primelor .

2\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot 193

Note

↑ AP26 Statistici . www.primegrid.com. Preluat la 30 martie 2018. Arhivat din original la 18 iulie 2017. (nedefinit)
↑ Karen R. Johannson „Variații asupra unei teoreme de van der Waerden” p.74
↑ Jens Kruse Andersen. Cele mai mari CPAP-uri cunoscute . primerecords.dk. Consultat la 12 aprilie 2017. Arhivat din original la 12 noiembrie 2017. (nedefinit)

Link -uri

Chris Caldwell, de la Prime Pages :
Dicționar de numere prime: secvențe aritmetice (engleză)
TOP 20: Progresii aritmetice din numere prime (engleză)
TOP 20: Progresii aritmetice din numere prime fără lacune (ing.)
Weisstein, Eric W. Progresii aritmetice din numere prime (engleză) la Wolfram MathWorld .
Jarosław Wróblewski, Cum să găsiți o progresie aritmetică a 26 de numere prime? (Engleză)
P. Erdős și P. Turán, „On some sequences of integers”, J. London Math. soc. 11 (1936), 261–264.