Teorema Greene-Tao

Teorema Green-Tao este o afirmație teoretică a numerelor demonstrată de Ben Green și Terence Tao în 2004 [1] că o succesiune de numere prime conține progresii aritmetice de lungime arbitrară. Cu alte cuvinte, există progresii aritmetice ale primelor cu k termeni, unde k poate fi orice număr natural. Dovada constă într-o extensie a teoremei lui Szémerédy .

Formulare

Deși teorema Green-Tao este cunoscută doar ca o dovadă a faptului însuși a prezenței unor progresii arbitrar lungi în mulțimea primelor, totuși există [2] întăriri semnificative ale acestei afirmații: în primul rând, afirmația rămâne adevărată pentru un mulţime arbitrară de numere prime de densitate pozitivă (în raport cu mulţimea tuturor primelor); în al doilea rând, există limite superioare separate pentru cât de mari pot fi elementele progresiei minime în setul luat în considerare.

Mai departe în formulări înseamnă mulțimea numerelor prime. Intrarea înseamnă , unde logaritmul este luat ori. ${\mathbb P}$ $\log _{[k]}x$ $\log \log \dots \log x$ $k$

Teorema Greene-Tao

Fie o mulțime de numere prime și densitatea acestuia în raport cu numerele prime este strict pozitivă. Apoi, pentru orice mulțime conține o progresie aritmetică a lungimii . $A$ $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{ |\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ $k\geqslant 2$ $A$ $k$

În lucrarea sa anterioară separată [3] , Green a dovedit un rezultat privind funcția de distribuție a mulțimii , dar numai pentru un caz special al unei progresii pe trei termeni. $A$

Există o constantă astfel încât, dacă mulțimea primelor satisface , atunci conține o progresie aritmetică de trei termeni. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N)}}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N)} }}$

Deoarece funcția necesară este asimptotic mai mică decât numărul de numere prime de pe segment , teorema rămâne adevărată pentru mulțimi infinite de densitate pozitivă când , . Astfel, putem reformula ultima teoremă pentru o densitate fixă. $[1,n]$ $|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N)}$ $\delta>0$

Există o constantă astfel încât pentru orice set de numere prime și densitatea sa , următorul corolar va fi valabil: dacă , atunci conține o progresie aritmetică de trei termeni. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|))$ ${\displaystyle N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right))))) )$ $A$

Exemple

18 ianuarie 2007 Yaroslav Vroblevsky a găsit primul caz de progresie aritmetică a 24 de numere prime [4] : 468 395 662 504 823 + 205 619 223 092 870 n , de la n = 0 la 23.

Aici constanta 223 092 870 este produsul numerelor prime nu mai mari de 23 (vezi primorial ).

Pe 17 mai 2008, Wroblewski și Raanan Chermoni au găsit o secvență de 25 de numere prime: 6 171 054 912 832 631 + 366 384 223 092 870 n , de la n = 0 la 24.
Pe 12 aprilie 2010, Benoit Perichon, folosind programul lui Wroblewski și Jeff Reynolds în proiectul de calcul distribuit PrimeGrid , a găsit o progresie aritmetică de 26 de numere prime: 43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 223 092 870 n , n = 0 până la 25 (secvența A204189 în OEIS ).

Variații și generalizări

În 2006, Tao și Tamar Ziegler au generalizat rezultatul la progresii polinomiale [5] . Mai precis, pentru orice polinoame date cu coeficienți întregi P 1 , …, P k ai unei variabile m cu termen constant zero, există infinit de multe numere întregi x , m astfel încât x + P 1 ( m ), …, x + P k ( m ) sunt numere prime. Cazul special în care polinoamele sunt m , 2 m , …, km , atrage după sine rezultatul anterior (există progresii aritmetice ale primelor de lungime k ).

Vezi și

Note

↑ Green, Ben & Tao, Terence (2008), Primele conțin progresii aritmetice arbitrar lungi , Annals of Mathematics vol. 167(2): 481-547 , DOI 10.4007/annals.2008.167.481 .
↑ I. D. Shkredov, Teorema lui Szemeredy și problemele progresiilor aritmetice Arhivat 24 iulie 2018 la Wayback Machine , p. 117.
↑ Green, Ben (2005), Teorema lui Roth în numere prime , Annals of Mathematics vol . 161(3): 1609-1636 , DOI 10.4007/annals.2005.161.1609
↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Arhivat la 14 iulie 2014 la Wayback Machine .
↑ Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), Primele conțin progresii polinomiale arbitrare lungi , Acta Mathematica T. 201: 213-305 , DOI 10.1007/s11511-008-0032-5 .

Teorema Greene-Tao

Formulare

Exemple

Variații și generalizări

Vezi și

Note

Link -uri