Formula Weyl asimptotică

Formula asimptotică a lui Weil leagă volumul unei varietăți riemanniene de comportamentul asimptotic al valorilor proprii ale Laplacianului său .

Istorie

Raportul a fost obținut de Hermann Weyl în 1911. Inițial, a fost formulat doar pentru regiunile spațiului euclidian. În 1912 a prezentat o nouă demonstrație bazată pe metode variaționale . [unu]

Formulare

Fie o varietate Riemanniană -dimensională. Notați prin numărul de valori proprii (ținând cont de multiplicitate) care nu depășește , pentru problema Dirichlet pe . Apoi $\Omega$ $d$ $N(\lambda )$ $\lambda$ $\Omega$

N(\lambda )={\frac {\omega _{d}}{(2\pi )^{d}}}\cdot \operatorname {vol} \Omega \cdot \lambda ^{d/2 }+o(\lambda ^{d/2})

unde denotă volumul bilei unitare în spațiul euclidian -dimensional. [2] $\omega _{d)$ $d$

Precizări

Estimarea pentru restul a fost îmbunătățită de multe ori.

În 1922, Richard Courant l-a îmbunătățit la . $O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )$
În 1952, Boris Levitan a dovedit o constrângere mai strictă pentru colectoarele închise. $O(\lambda ^{(d-1)/2})$
Robert Seeley în special pentru a include anumite domenii euclidiene, în 1978[3]

Probabil că următorul termen din asimptotice pentru este proporțional cu aria graniței . Având în vedere acest termen, estimarea pentru restul trebuie să fie . În special, cu condiția că nu există graniță, estimarea pentru termenul rămas din formula de mai sus ar trebui să fie . $\lambda ^{(d-1)/2)$ $\Omega$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$

În 1975, Hans Deistermaat și Victor Guillemin au dovedit o estimare în anumite condiții generale suplimentare de poziție. [patru] $o(\lambda ^{(d-1)/2})$
- Acesta din urmă a fost rezumat de Victor Ivry în 1980. [5] Această generalizare presupune că setul de traiectorii periodice de biliard are măsura 0. Aceasta din urmă este valabilă pentru toate domeniile euclidiene mărginite cu granițe netede. $\Omega$

Note

↑ H. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partillen Differentialgleichungen (germană) // Math. Ann. : magazin. - 1912. - Bd. 71 . - S. 441-479 .
↑ Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (neopr.) // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1911. - S. 110-117 .
↑ R. Seeley. O estimare asimptotică ascuțită pentru valorile proprii ale laplacianului într-un domeniu al // Adv. Matematică.. - 1978. - Vol. 29, nr. 2. - P. 244-269. - doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 . $\mathbf {R} ^{3}$
↑ JJ Duistermaat, VW Guillemin. Spectrul operatorilor eliptici pozitivi și bicaracteristicile periodice // Inventiones mathematicae. - 1975. - Vol. 29, nr. 1. - P. 39-79. - doi : 10.1007/BF01405172 .
↑ V. Ya. Ivry. Pe al doilea termen al asimptoticii spectrale pentru operatorul Laplace-Beltrami pe varietăţi cu graniţă // Funct. analiza şi aplicaţiile acesteia.- 1980. - V. 14 , Nr. 2 . - S. 25-34 .