Egalitatea asimptotică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 februarie 2020; verificările necesită 8 modificări .

Egalitatea asimptotică (echivalența) în analiza matematică este o relație de echivalență între funcții definite într-o vecinătate perforată a unui punct, adică egalitatea funcțiilor din apropierea acestui punct cu o eroare relativă arbitrar mică . Egalitățile asimptotice sunt utilizate pe scară largă în calcularea limitelor. Adesea, funcțiile echivalente asimptotic sunt numite pur și simplu echivalente, omițând cuvântul asimptotic. De asemenea, destul de comun este termenul echivalent infinitezimal, care nu este altceva decât un caz special de echivalență asimptotică pentru funcții infinitezimale.

Motivație

Se spune adesea că multe funcții sunt aproximativ egale sau se comportă la fel la un moment dat. Cu toate acestea, această terminologie este prea vagă și, dacă vrem cu adevărat să vorbim despre același comportament al funcțiilor, acesta trebuie definit formal.

Să definim următorul termen: vom spune că o funcție aproximează sau aproximează o funcție în apropierea punctului dacă, pentru un număr arbitrar mic, putem lua o astfel de vecinătate în care aceste funcții vor diferi cu cel mult acest număr. În limbă: $g(x)$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varepsilon ,\delta$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):|f(x)-g(x)|<\varepsilon

Nu este greu de observat că această definiție înseamnă că limita diferenței de funcții este egală cu zero pe măsură ce ne apropiem de punctul . nu este altceva decât eroarea absolută a aproximării unei funcții de către o funcție . Când definim o funcție care se aproximează într-un punct, solicităm ca eroarea absolută să fie redusă în mod arbitrar. În acest caz, eroarea relativă nu va fi neapărat mică. Un exemplu simplu: o funcție aproximează o funcție într-un punct, deoarece au aceeași limită. Cu toate acestea, eroarea relativă a acestei aproximări în toate punctele, cu excepția . $x_{0}$ $|f(x)-g(x)|$ $f(x)$ $g(x)$ $-X$ $X$ $0$ $0$ $200\%$

În loc de condiția de micime a erorii absolute, se poate cere ca eroarea relativă să fie mică. Funcțiile cu o astfel de condiție sunt numite echivalente asimptotic [1] . Eroarea relativă (pentru diferită de zero într-o zonă perforată a punctului ) a funcțiilor și se calculează prin formula . Condiția de echivalență asimptotică este apoi formulată după cum urmează: $f(x)$ $x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)))\right|$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepsilon

Aceasta este evident echivalentă cu condiția , care este cel mai adesea considerată definiția echivalenței asimptotice. $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)))=1$

Definiție

Definiție clasică

Fie și să fie definite într-o vecinătate perforată a punctului ( poate fi și infinit, atât cu semn definit, cât și fără semn) și nu egale într-o vecinătate perforată. Funcțiile și sunt numite asimptotic egale dacă: $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ $x\la x_{0)$

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Echivalența de bază

Desigur, egalitatea asimptotică poate fi considerată nu numai pentru simpla tendință a unui argument la o anumită valoare. Este posibil să se ia în considerare limita asupra altor baze: atunci când argumentul tinde spre dreapta, din stânga, peste un subset și, în general, peste orice bază. Prin urmare, este logic să definiți o echivalență asimptotică pentru orice bază . Fie și să fie definit pe un element al bazei și nu egal pe un element al bazei. Funcțiile și sunt numite asimptotic egale în bază dacă: [2] ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$

\lim _{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Caz general

Conceptul de egalitate asimptotică poate fi generalizat și în cazul în care condiția inegalității la zero nu este îndeplinită în nicio vecinătate. Fie și să fie definite pe un element al bazei . Funcțiile și sunt numite asimptotic egale în bază dacă funcția poate fi reprezentată ca , unde [3] . $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=\varepsilon (x)g(x)$ $\lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1$

Prin o-small

O definiție echivalentă a egalității asimptotice poate fi dată folosind conceptul de o-mic. Fie și să fie definit pe un element al bazei și nu egal pe un element al bazei. Funcțiile și se spune că sunt asimptotic egale în bază , dacă funcția poate fi reprezentată ca , unde este o-mic din în bază . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(f(x))$ $o(f(x))$ $f(x)$ ${\mathfrak {B}}$

Prin infinitezimal

Pentru cazul general, definiția de mai sus în termeni de o-mic poate fi formulată folosind conceptul de infinitezimal. Fie și să fie definite pe un element al bazei . Funcțiile și sunt numite asimptotic egale în baza , dacă funcția poate fi reprezentată ca , unde este un infinitezimal în baza [3] . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(1)f(x)$ $o(1)$ ${\mathfrak {B}}$

Tila este folosită pentru a desemna o egalitate asimptotică : . $f(x)\sim g(x)$

Relația de echivalență

Egalitatea asimptotică față de o bază în sensul deplin este o relație de echivalență asupra mulțimii de funcții definite pe un element al bazei, adică este reflexivă , simetrică și tranzitivă . Prin urmare, setul de astfel de funcții poate fi împărțit în clase de echivalență.

Orice două funcții care au aceeași limită finită diferită de zero sunt echivalente una cu cealaltă. Pe de altă parte, echivalența unei funcții a unei anumite funcții cu o limită finită diferită de zero implică automat egalitatea limitei lor. Astfel, mulțimea de funcții cu aceeași limită finită diferită de zero formează o clasă de echivalență.

Acesta nu este deloc cazul funcțiilor infinit de mici, infinit de mari și nelimitate. Aceste echivalențe sunt cele care interesează. Echivalența a două funcții presupune egalitatea limitelor lor (sau inexistența lor), deci putem considera separat clasele de echivalență ale funcțiilor infinit de mari și infinit de mici [3] .

Exemple

Polinomul at este echivalent cu termenul său diferit de zero cu gradul cel mai înalt și cu cel mai mic grad. $x\la \infty$ $x\la 0$

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n }

x\to \infty ,a_{n}\neq 0

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x ^{m}\sim a_{m}x^{m}

x\la 0,a_{m}\neq 0

Când se calculează limite, multe manuale oferă adesea tabele de echivalență pentru unele funcții elementare:

Echivalent infinitezimal la

x\la 0

Funcția 1	Funcția 2
$\sin x$	$X$
$\operatorname {tg}x$	$X$
$\arcsin x$	$X$
$\operatorname{arctg}x$	$X$
$1-\cos x$	${\frac {x^{2}}{2}}$
$e^{x}-1$	$X$
$\ln(1+x)$	$X$
$(1+x)^{\alpha }-1$	$\alpha x$
$\operatorname {sh} x$	$X$
$\operatorname {th} x$	$X$
$\operatorname {arsh} x$	$X$
$\operatorname {arth} x$	$X$
$\operatorname {ch} x-1$	${\frac {x^{2}}{2}}$

Destul de faimoasă este formula Stirling , care aproximează factorialul printr-o funcție continuă:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

n\la\infty

Asimptoticele sunt utile în estimarea cantităților combinatorii cu parametri suficient de mari. De exemplu, înlocuind formula Stirling în formula explicită pentru calcularea coeficientului binomial , se poate obține că:

{\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}

n\la\infty

Numărul de numere prime mai mic decât un număr dat are, de asemenea, o aproximare asimptotică simplă :

\pi (n)\sim {\frac {n}{\ln {n})}

la ,

n\la\infty

unde este numărul de numere prime mai mic decât $\pi(n)$ $n$

Proprietăți

Eroarea relativă tinde spre zero. Dacă pentru baza , atunci eroarea relativă pentru această bază tinde spre zero. Această proprietate conduce în general la definirea egalității asimptotice. Rețineți că eroarea absolută nu trebuie să tindă spre zero. Exemplu: la , dar eroarea lor absolută este constantă și egală cu . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x\sim x+1$ $x\la \infty$ $unu$
Înlocuire cu un echivalent în limită. Dacă în baza , atunci în sensul că limitele fie sunt egale, fie ambele nu există. $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $\lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\lim _{\mathfrak {B}}g(x)$

Această proprietate vă permite să înlocuiți expresia de sub semnul limită cu una echivalentă. Pe ea se bazează tehnica calculării limitelor cu ajutorul echivalențelor.

Operații algebrice pe echivalențe. Lăsați mai departe , , peste bază . Apoi $f(x)\sim f_{1}(x)$ $g(x)\sim g_{1}(x)$ $m\in \mathbb {N}$ ${\mathfrak {B}}$

f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)

prin baza .

{\mathfrak {B}}

{\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)))

prin baza .

{\mathfrak {B}}

{\displaystyle (f(x))^{m}\sim (f_{1}(x))^{m))

prin baza .

{\mathfrak {B}}

Toate egalitățile de aici în sensul limitelor fie sunt egale, fie ambele nu există. Ultima proprietate poate fi generalizată în cazul unui grad fracționar, totuși, deoarece numerele negative nu pot fi ridicate la o putere neîntregătoare, este necesar să se verifice mai întâi dacă funcțiile finale vor fi definite pe vreun element al bazei. Pentru rădăcinile aritmetice de un grad impar, proprietatea poate fi aplicată fără verificări suplimentare.

Aceste proprietăți sunt utilizate pe scară largă în practică pentru a calcula limita. Exemplu:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x- 1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e

Rețineți că nu există nicio proprietate analogă pentru o sumă: suma echivalentelor nu trebuie să fie echivalentă cu suma.

Reprezentare prin o-small. $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)$

Deoarece aceasta este o definiție alternativă a echivalenței, poate fi folosită și invers. De exemplu: la , deoarece . Acest lucru ne permite să scăpăm de termeni mici în echivalențe. Exemplu:

x+\ln x\sim x

x\la +\infty

\ln x=o(x)

\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\ infty

Această proprietate forward este adesea folosită în combinație cu următoarele:

o-mic este o-mic al echivalentului. $f(x)\sim g(x)\Rightarrow o(f(x))=o(g(x))$

În ciuda faptului că suma nu poate fi înlocuită cu altele echivalente, puteți folosi ultimele două proprietăți:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operatorname {arctg} {x}}}=\lim _ {x\la 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\operatorname {arctg} {x})}}=\lim _{x\la 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\la 0}{ \dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)} }={\frac {2}{2}}=1

Dacă funcțiile sunt echivalente în raport cu o anumită bază, atunci ele sunt echivalente în raport cu orice bază mai puternică . Exemplu: pentru , ceea ce înseamnă că sunt echivalente pentru . $\sin x\sim x$ $x\la 0$ $x\la 0+$

Teorema privind echivalența funcțiilor complexe, ca și teorema limitei unei funcții complexe, are o formulare complicată. Formulăm 3 variante ale acestei teoreme:

Echivalența funcțiilor complexe.
- Pentru funcții continue. Să fie , și să fie continuu în punctul , . Apoi pe bază . $f(x)\sim g(x)$ $x\la x_{0)$ $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Versiunea teoremei pentru funcții continue, totuși, acoperă majoritatea exemplelor întâlnite în practică. De exemplu: la . Funcțiile discontinue necesită o condiție suplimentară.

\sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}

x\la \infty

Pentru funcții discontinue. Fie pentru , , pe un element al bazei, nicăieri nu ia valoarea . Apoi pe bază . $f(x)\sim g(x)$ $x\la x_{0)$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $h(x)$ $x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Ambele proprietăți sunt o consecință a teoremei generale pentru limite pe o bază arbitrară.

Pentru o bază arbitrară. Fie definită cu , pe un element de bază și pentru orice element de bază există un element de bază astfel încât . Apoi pe bază . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {D}}$ $h(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $d$ ${\mathfrak {D}}$ $b$ ${\mathfrak {B}}$ $h(b)\subseteq d$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Să fie și să fie pozitiv pe un element al bazei. dacă și numai dacă . $f(x)$ $g(x)$ $f(x)\sim g(x)$ $\ln {f(x)}=\ln {g(x)}+o(1)$
Dacă , și , atunci . $f(x)\sim g(x)$ $c=\operatorname {const} {}$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{f(x)))$ $A(x)=(c+o(1))^{g(x))$
Echivalența seriei . Conform teoremei lui Stolz , pentru două serii infinite:

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{a_{n)}

și ,

\sum \limits _{n=0}^{\infty {b_{n)}

dacă și rândul:

\forall n:\ b_{n}>0

\sum \limits _{n=0}^{\infty {b_{n)}

diverge, rezultă că:

a_{n}\sim b_{n}

\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}

Comanda

Similar ca înțeles cu egalitatea asimptotică, dar mai puțin strictă, este prezența aceluiași ordine de funcții . Se spune că funcțiile și au aceeași ordine dacă . În acest caz, se folosește notația sau . Dacă aceste funcții sunt infinit de mici, ordinea se numește de obicei ordinea micii, iar dacă este infinit de mari, atunci ordinea creșterii. $f(x)$ $g(x)$ $\exists a,A:\\exists X:\\forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)$ $f(x)=\Theta (g(x))$ $f(x)\in \Theta (g(x))$

În același timp, existența unei constante astfel încât . Ca exemplu, este suficient să remarcăm că , întrucât , totuși, nu există o astfel de constantă care . $c$ $cf(x)\sim g(x)$ $x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)$ $x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x$ $c$ $x(1+|\sin {x}|)\sim cx$

Note

↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 264.
↑ Arkhipov, 2004 , p. 73.
↑ 1 2 3 enciclopedie de matematică .

Literatură

Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. În 3 volume. Volumul 1 . - M . : Butarda, 2003. - 704 p. (Rusă)
Arkhipov, G. I. Prelegeri de analiză matematică: manual. pentru universități / G. I. Arkhipov , V. A. Sadovnichiy , V. N. Chubarikov ; ed. V. A. Sadovnichy. - ed. a V-a, Rev. - M . : Drofa, 2004. - 640 p. — (Manual universitar clasic). — ISBN 5-7107-8900-3 .
Egalitatea asimptotică . Enciclopedia de matematică . (nedefinit)