Spațiu infinit

Un spațiu cu dimensiuni infinite este un spațiu vectorial cu o dimensiune infinit de mare . Studiul spațiilor infinit-dimensionale și mapările acestora este sarcina principală a analizei funcționale. Cele mai simple spații infinit-dimensionale sunt spațiile Hilbert , care sunt cele mai apropiate ca proprietăți de spațiile euclidiene cu dimensiuni finite [1] .

Definiție

Un spațiu vectorial liniar se numește infinit-dimensional dacă pentru orice număr întreg conține un sistem liniar independent format din vectori [2] [3] . $N>0$ $N$

Baza

Pentru un spațiu cu dimensiuni infinite, există diverse definiții ale unei baze . Deci, de exemplu, baza Hamel este definită ca un set de vectori într-un spațiu liniar, astfel încât orice vector spațial poate fi reprezentat ca o combinație liniară finită a acestora într-un mod unic.

Pentru spaţiile vectoriale topologice , se poate defini o bază Schauder . Sistemul de elemente formează baza Schauder a spațiului dacă fiecare element este reprezentat în mod unic ca o serie convergentă [4] . Baza Schauder nu există întotdeauna. $\stanga\{e_{k}\dreapta\}$ $E$ $x\in E$ $x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k)$

Exemple

Spațiul liniar al funcțiilor continue pe un interval dat [2] .
Spațiul Hilbert format dintr-o succesiune infinită de numere cu o sumă convergentă de pătrate [5] . $x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)$ $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty$
Mulțimea tuturor polinoamelor [6] .
Spațiul de fază în fizica statistică este aproape infinit-dimensional. [7]
Spațiul secvențelor pătrat-sumabile

Proprietăți

Un spațiu infinit-dimensional nu este izomorf cu niciunul cu dimensiune finită [8] .

Vezi și

spațiu finit-dimensional

Note

↑ Analiza funcțională // Dicționar enciclopedic matematic / cap. ed. Iu. V. Prohorov . - M., Enciclopedia Sovietică , 1988. - p. 613-615
↑ 1 2 Efimov, 2004 , p. 33.
↑ Shikin E. V. Spații liniare și mapări. - M., Universitatea de Stat din Moscova , 1987. - p. 17
↑ Macara, 1964 , p. 74.
↑ Shilov, 1961 , p. 182.
↑ Efimov, 2004 , p. 42.
↑ Manin Yu.I. Matematica ca metaforă. - M., MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-287-9 . - Cu. 148
↑ Efimov, 2004 , p. 39.

Literatură

Efimov N.V. , Rozendorn E.R. Algebră liniară și geometrie multidimensională. - M. : Fizmatlit, 2004. - 464 p. - ISBN 5-9221-0386-5 .
Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.
ed. Macara S.G. Analiza functionala. - M. : Nauka, 1964. - 424 p. - 17.500 de exemplare.