Bază

Baza ( alte βάσις „bază”) este un set ordonat (finit sau infinit) de vectori dintr-un spațiu vectorial , astfel încât orice vector al acestui spațiu poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de vectori din această mulțime. Vectorii de bază se numesc vectori de bază .

În cazul în care baza este infinită, conceptul de „combinație liniară” trebuie clarificat. Aceasta conduce la două tipuri principale de definiții:

Baza Hamel , în definiția căreia sunt luate în considerare numai combinații liniare finite; folosit în principal în algebra abstractă.
Baza lui Schauder , în definiția căreia sunt considerate și combinații liniare infinite, și anume expansiunea în serie ; aplicat în principal în analiza funcțională, în special pentru spațiul Hilbert .

În spațiile cu dimensiuni finite, ambele definiții ale unei baze coincid.

Originea termenului

Pentru Euclid și alți matematicieni greci antici , cuvântul „bază” (βάσις, adică bază ) desemna baza orizontală a unei figuri plate sau spațiale. Sensul matematic modern al acestui termen a fost dat de Dedekind într-un articol din 1885 .

Bazat pe plan și în spațiul tridimensional

Orice sistem de coordonate carteziene pe un plan sau într-un spațiu tridimensional (și într-un spațiu de altă dimensiune) poate fi asociat cu o bază formată din vectori, fiecare dintre care este direcționat de-a lungul propriei axe de coordonate. Acest lucru se aplică atât coordonatelor carteziene dreptunghiulare (atunci baza corespunzătoare se numește ortogonală ), cât și coordonatelor carteziene oblice (cărora le va corespunde o bază non-ortogonală).

Este adesea convenabil să alegeți lungimea ( norma ) fiecăruia dintre vectorii de bază pentru a fi unitate, o astfel de bază se numește normalizată.

Cel mai adesea, baza este aleasă să fie ortogonală și normalizată în același timp, apoi se numește ortonormală .

În orice spațiu vectorial, baza poate fi aleasă în diverse moduri (prin schimbarea direcțiilor vectorilor săi sau a lungimii acestora, de exemplu).

Notație

Desemnarea vectorilor de bază poate fi, în principiu, arbitrară. Adesea folosesc o literă cu un index (numeric sau care coincide cu numele axei de coordonate), de exemplu:

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2}

{\vec e}_{x},{\vec e}_{y}

sunt desemnări tipice pentru baza unui spațiu bidimensional (plan),

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2},{\vec e}_{3}

\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

- spatiu tridimensional. Pentru spațiul tridimensional, notația este adesea folosită în mod tradițional

{\vec i},{\vec j},{\vec k}.

Reprezentarea unui anumit (orice) vector spațial ca o combinație liniară de vectori de bază (suma vectorilor de bază prin coeficienți numerici), de exemplu $\vec a$

{\vec a}=a_{x}{\vec e}_{x}+a_{y}{\vec e}_{y}+a_{z}{\vec e}_{z}

{\vec a}=a_{1}{\vec e}_{1}+a_{2}{\vec e}_{2}+a_{3}{\vec e}_{3}

sau, folosind semnul sumei : $\Sigma$

{\vec a}=\sum _{{i=1}}^{3}a_{i}{\vec e}_{i}

se numește expansiunea acestui vector în această bază.

Coeficienții numerici se numesc coeficienți de expansiune, iar mulțimea lor în ansamblu este o reprezentare (sau reprezentativă) a unui vector în bază (Extinderea unui vector într-o bază specifică este unică; expansiunea aceluiași vector în baze diferite este diferită , adică se obține un set diferit de numere specifice, totuși, în rezultat, atunci când sunt însumate - așa cum se arată mai sus - dă același vector). $(a_{x},a_{y},a_{z})$ $\vec a$ ${\vec e}_{x},{\vec e}_{y},{\vec e}_{z}.$

Tipuri de baze

Baza lui Hamel

Baza Hamel este un set de vectori într-un spațiu liniar , astfel încât orice vector spațial poate fi reprezentat ca o combinație liniară finită a acestora ( completitudinea bazei), iar o astfel de reprezentare este unică pentru orice vector.

Criteriul de unicitate a soluției problemei extinderii unui vector într-un sistem complet de vectori este independența liniară a vectorilor incluși în sistemul complet. Independența liniară înseamnă că orice combinație liniară de vectori de sistem, în care cel puțin un coeficient este diferit de zero, are o sumă diferită de zero. Adică, este echivalent cu unicitatea descompunerii vectorului zero.

În cazul spațiilor liniare, când fiecare coeficient diferit de zero este inversabil, independența liniară este echivalentă cu imposibilitatea de a exprima orice vector al întregului sistem printr-o combinație liniară a altor vectori. (Într-o situație mai generală - module peste inele - aceste două proprietăți nu sunt echivalente). Imposibilitatea de a exprima orice vector de bază în termeni de rest înseamnă că baza este minimă ca un sistem complet de vectori - atunci când se îndepărtează oricare dintre ei, completitatea este pierdută.

În chestiunea existenței bazelor, principala este următoarea lemă (dovada acestei leme este în general neconstructivă și folosește axioma alegerii ):

Lema. Fie un sistem complet și liniar independent de vectori. Apoi sistemul conține un set de vectori care completează spațiul la o bază . $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $V$

Dovada

Dovada se bazează pe aplicarea lemei lui Zorn. Luați în considerare . Fie mulțimea tuturor submulților liniar independente ale . Acest set este parțial ordonat în ceea ce privește includerea. $S=S_{1}\cup S_{2)$ $L$ $S$

Să demonstrăm că uniunea oricărui lanț de mulțimi liniar independente rămâne liniar independentă. Într-adevăr, să luăm vectorii din unire și să luăm mulțimile din lanțul căruia îi aparțin acești vectori: . Deoarece aceste mulțimi sunt elemente ale lanțului, unirea lor va da maximul dintre ele, care este liniar independent și, prin urmare, vectorii care se află în această mulțime sunt de asemenea liniar independenți. $a_{1},\ldots,a_{n)$ $a_{1}\in A_{1},\ldots,a_{n}\in A_{n)$ $a_{1},\ldots,a_{n)$

Unirea mulțimilor de lanțuri este liniar independentă și, prin urmare, este conținută în mulțime . Să- i aplicăm o formulare consolidată a lemei lui Zorn , care afirmă că pentru fiecare element al există un element maxim mai mare sau egal cu acesta. , ceea ce înseamnă că există un element maxim astfel încât . Este ușor de văzut că există o bază. Într-adevăr, dacă nu ar exista un sistem complet de vectori, ar exista un vector care nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori din . Atunci este un sistem liniar independent, ceea ce înseamnă că , ceea ce contrazice faptul că este elementul maxim al . $L$ $L$ $S_{2}\în L$ $B\în L$ $S_{2}\subset B$ $B$ $B$ $a\in S_{1}$ $B$ $B\cup \{a\}$ $B\cup \{a\}\in L$ $B$ $L$

Consecințele acestei leme sunt afirmațiile:

Fiecare spațiu liniar are o bază.
O bază spațială poate fi extrasă din orice sistem complet de vectori.
Orice sistem liniar independent poate fi completat pe baza spațiului V.

Orice două baze dintr-un spațiu liniar sunt de putere egală , deci cardinalitatea unei baze este o cantitate independentă de alegerea vectorilor de bază. Se numește dimensiunea spațiului (notat cu ). Dacă un spațiu liniar are o bază finită, dimensiunea sa este finită și se numește finit -dimensional , în caz contrar dimensiunea sa este infinită și spațiul se numește infinit-dimensional. $\dim V$

Baza aleasă a spațiului liniar ne permite să introducem reprezentarea în coordonate a vectorilor, ceea ce pregătește utilizarea metodelor analitice.

O mapare liniară de la un spațiu liniar la altul este definită în mod unic dacă este definită pe vectorii unei anumite baze. Combinarea acestui fapt cu posibilitatea unei reprezentări în coordonate a vectorilor predetermină utilizarea matricelor pentru studierea mapărilor liniare ale spațiilor vectoriale (în primul rând cele cu dimensiuni finite). În același timp, multe fapte din teoria matricelor primesc o reprezentare vizuală și capătă un sens foarte semnificativ atunci când sunt exprimate în limbajul spațiilor liniare. Și alegerea bazei în acest caz servește ca un instrument auxiliar, dar în același timp un instrument cheie.

Exemple

Vectorii spațiali formează o bază dacă și numai dacă determinantul matricei compuse din coloanele de coordonate ale acestor vectori nu este egal cu 0: . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0$
În spațiul tuturor polinoamelor de pe un câmp , una dintre baze este formată din funcții de putere: . $1,x,x^{2},\dots ,x^{n},\dots$
Conceptul de bază este utilizat în cazul cu dimensiuni infinite, de exemplu, numerele reale formează un spațiu liniar peste numerele raționale și are o bază Hamel continuă și, în consecință, o dimensiune continuă.

Baza lui Hamel și funcția liniară discontinuă

Baza Hamel poate fi utilizată pentru a construi o funcție reală discontinuă care satisface condiția . Fie baza Hamel a mulțimii numerelor reale peste câmpul numerelor raționale . Apoi, pentru fiecare ( ) setăm , unde sunt numere reale arbitrare, de exemplu, cele raționale (în acest caz, funcția ia numai valori raționale și, prin urmare, este garantat că nu este o funcție liniară a lui ). O astfel de funcție este aditivă, adică satisface ecuația funcțională Cauchy . Totuși, în cazul general, când , diferă de o funcție liniară și, prin urmare, este discontinuă în orice punct și, de asemenea, nu păstrează semnul, nu este mărginit deasupra sau dedesubt, nu este monotonă , nu este integrabilă și nu este măsurabil pe orice interval arbitrar mic, completând cu valorile sale pe acest interval peste tot dens axa numerică . $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\în {\mathbb {Q}}$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f(x)=(c\cdot x)$ $f(x)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $f(x)=c\cdot x$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Baza lui Schauder

Un sistem de vectori într- un spațiu vectorial topologic se numește bază Schauder (în onoarea lui Schauder ) dacă fiecare element se descompune într-o singură serie care converge către : $\{e_{n}\}$ $L$ $f\în L$ $f$ $\{e_{n}\}$

f=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}f_{i}e_{i},

unde sunt numere numite coeficienți de expansiune a vectorului în ceea ce privește baza . $f_{i}$ $f$ $\{e_{n}\}$

Pentru a sublinia diferența dintre definiția bazei Hamel pentru spațiile liniare generale (sunt permise doar sume finite) și baza Schauder pentru spațiile vectoriale topologice (este permisă extinderea într-o serie convergentă ), termenul bază liniară este adesea folosit pentru fostul , lăsând termenul de bază pentru extinderile de serie . Puterea unei baze liniare se mai numește și dimensiune liniară . În spațiile cu dimensiuni finite, aceste definiții coincid deoarece baza este finită. În spațiile cu dimensiuni infinite, aceste definiții diferă semnificativ, iar dimensiunea liniară poate fi strict mai mare decât cardinalitatea bazei Schauder.

De exemplu, niciun spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite nu are o bază liniară numărabilă, deși poate avea baze Schauder de expansiune în serie numărabilă, inclusiv baze ortonormale . Toate bazele ortonormale ale spațiilor Hilbert sunt baze Schauder, de exemplu, setul de funcții este o bază Schauder în . În spațiile Banach mai generale , noțiunea de bază ortonormală nu este aplicabilă, dar este adesea posibil să se construiască baze Schauder care nu utilizează ortogonalitatea. $\{1,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\cos(2\ pi nx)\mid n=1,2,\dots \}$ $L^{2}[0,1]$

Exemplu: baza Schauder pentru spațiul funcțiilor continue C [ a, b ]

$Taxi]$ este un spatiu Banach cu norma . Pentru expansiunile în seriile Fourier și seria Fourier generalizate în sistemele de funcții ortonormale, convergența în spațiul Hilbert este ușor de demonstrat , dar nu în . Schauder a construit baza Schauder pentru . Fie un set dens numărabil de puncte pe , , , punctele rămase pot fi, de exemplu, toate punctele raționale ale segmentului , ordonate arbitrar. Să presupunem că , este o funcție liniară. Să definim o funcție liniară pe bucăți astfel încât pentru și . Punctele sunt împărțite în segmente. Ideea se află strict în unul dintre ele. Să fie asta pentru unii (ordinea de numerotare a numerelor nu corespunde mărimii lor). $\|f\|=\max _{{x\in [a,b]}}|f(x)|$ $L^{2}[a,b]$ $Taxi]$ $\{e_{n}\}$ $Taxi]$ $\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\dots \}$ $[a,b]$ $x_{0}=a$ $x_{1}=b$ $[a,b]$ $e_{0}=1$ $e_{1}=(xa)/(ba)$ $e_{n}(x)$ $e_{n}(x_{i})=0$ $i=0,1,\dots ,n-1$ $e_{n}(x_{n})=1$ $x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{{n-1}}$ $[a,b]$ $n-1$ $x_{n}$ $I_{n}=[x_{j},x_{k}]$ $j,k\în \{0,\dots ,n-1\}$ $x_{0},x_{1},x_{2},\puncte$

Sa punem:

e_{n}(x)=0

în afara segmentului

I_{n}=[x_{j},x_{k}],

e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}

x\in [x_{j},x_{n}],

e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}

x\in[x_{n},x_{k}].

Sistemul rezultat de „pălării” liniare pe bucăți este baza Schauder necesară. Coeficienții de expansiune ai unei funcții arbitrare în această bază sunt exprimați prin formule recursive explicite în termenii unei secvențe de valori . Suma parțială a primilor termeni ai seriei $f(x)\în C[a,b]$ $f(x_{i})$ $n+1$

L_{n}(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),

este în acest caz o aproximare liniară pe bucăți cu noduri în puncte ; formula pentru coeficienți (vezi fig.) $f(x)$ $x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{{n}}$ $f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)$

Problema de bază

Bazele Schauder au fost construite pentru cele mai multe dintre exemplele cunoscute de spații Banach, dar problema Banach-Schauder privind existența unei baze Schauder în fiecare spațiu Banach separabil nu s-a predat soluției pentru mai mult de 50 de ani și a fost rezolvată negativ doar în 1972: există spații Banach separabile fără o bază Schauder (contraexemple Enflo [1] , Shankovsky, Davy și Figel).

Aplicații în cristalografie

În algebra vectorială , cu ajutorul unui produs vectorial și al unui produs mixt , conceptul de bază reciprocă la o bază în spațiul euclidian tridimensional este definit și folosit pentru a demonstra unele afirmații legate de produsul mixt și unghiurile dintre vectori [2] ] :212-214 . În cristalografie, baza reciprocă se numește definiția cristalografică a bazei , pe baza căreia se determină rețeaua reciprocă .

Vezi și

Reper este un concept strâns legat.
O bază ortogonală este o clasă specială de baze (baze Schauder) pentru spații cu produs interior ( spațiul Hilbert ).
baza Gröbner
Baza Riesz
spațiu finit-dimensional
Steagul (matematică)

Note

↑ Per Enflo. Un contraexemplu la problema de aproximare în spații Banach (engleză) // Acta Math .. - 1973. - Vol. 130 (1973) . - P. 309-317 . - doi : 10.1007/BF02392270 .
traducere: Per Enflo. A counterexample to the aproximation problem in Banach spaces = A counterexample to the aproximation problem in Banach spaces // Matematică / transl. B. S. Mityagin. - 1974. - T. 18 , nr. 1 . — S. 146–155 .
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme . - M . : Şcoala superioară , 1985. - 232 p.

Literatură

Kutateladze S. S., Fundamentele analizei funcționale . - Ed. a IV-a, corectată. - Novosibirsk: Editura Institutului de Matematică SB RAS, 2001. - XII + 354 p.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte