Oscilații betatron

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 11 septembrie 2018; verificarea necesită 1 editare .

Oscilațiile betatron sunt oscilații transversale rapide efectuate de o particulă în câmpurile magnetice de focalizare ale unui accelerator . Oscilațiile betatronului sunt subiectul principal de studiu al opticii electronice , o ramură a fizicii acceleratoarelor .

Ecuația lui Hill

Pentru focalizarea transversală a unui fascicul de particule într-un canal de transport sau într-un accelerator ciclic, sunt utilizate elemente care creează un câmp magnetic care depinde liniar de coordonatele transversale . Pentru o particulă care se deplasează de-a lungul unei traiectorii curbilinii în câmpuri magnetice, putem introduce o particulă de echilibru de referință și un sistem de coordonate carteziene însoțitor, așa-numitul. triedrul lui Serret Frenet . Abaterile de la particula de echilibru în toate cele trei direcții vor fi considerate mici. Apoi, după liniarizarea ecuațiilor de mișcare a unei particule într-un câmp magnetic, se dovedește că mișcarea în diferite grade de libertate este independentă, iar pentru două coordonate transversale mișcarea este descrisă de o pereche de ecuații lui Hill : ${\vec {B}}(x,y)$ $(x=r-r_{0},y,\Delta s)$

${\begin{cases}x''+k_{x}(s)x=0\\y''+k_{y}(s)y=0\\\end{cases)).$

Aici sunt funcții periodice în cazul unui accelerator ciclic. este gradientul câmpului magnetic, iar primul înseamnă derivata față de s, o variabilă independentă, un element al arcului orbitei de echilibru. Produsul câmpului conducător și razei de curbură se numește rigiditate magnetică , care este legată în mod unic de energia particulei prin relația , unde este sarcina particulei. $k_{x}(s)={\frac {1}{r_{0}^{2}}}+{\frac {G(s)}{B\rho }}$ $k_{y}(s)=-{\frac {G(s)}{B\rho }}$ $G(s)={\frac {\partial B_{z)}{\partial x)}$ $B\rho =B\cdot r_{0)$ $pc=eZB\rho$ $eZ$

Pentru mișcarea unidimensională, soluția ecuației Hill este oscilațiile cvasi-periodice. Soluția poate fi scrisă ca , unde este funcția Twiss beta , este incursiunea fazei betatron și este amplitudinea invariantă. Adesea, de asemenea, în locul funcției beta, așa-numita. funcția Floquet , care este anvelopa traiectoriilor particulelor. $x(s)=A{\sqrt {\beta _{x}(s)))\cdot cos(\Psi _{x}(s)+\phi _{0})$ $\beta (s)$ $\Psi(s)$ $A$ $w_{x}(s)={\sqrt {\beta _{x}(s)))$

Dacă ecuația mișcării este rezolvată pentru un canal de transport, atunci forma specifică a funcției beta este determinată de condițiile inițiale de la intrarea în canal. Dacă se studiază dinamica într-un accelerator ciclic, atunci anvelopa și funcția beta sunt funcții periodice. Abilitatea de a parametriza soluția ecuației lui Hill în modul descris mai sus se datorează teoremei lui Floquet .

Formalismul matriceal

Deoarece ecuația Hill este liniară, este posibil și convenabil să se aplice formalismul matricei . Să compunem un vector dintr-o pereche de variabile pentru care soluția poate fi scrisă sub formă de matrice: $(x,x')$

${\begin{pmatrix}x(s)\\x'(s)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22 }\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x(s_{0})\\x'(s_{0})\end{pmatrix}},$

unde matricea se numește matrice de transport. De regulă, câmpurile magnetice ale acceleratorului de-a lungul mișcării fasciculului pot fi descrise într-un mod constant pe bucăți, ca o secvență de elemente magnetice ( magnet dipol , lentilă cvadrupol , spațiu gol). Fiecare element magnetic, din punct de vedere al dinamicii particulelor, este descris de propria sa matrice de transport. De exemplu, pentru mișcarea unidimensională, puteți scrie matrici: $T(s_{0}\la s)$

un spațiu gol de lungime L: sau o lentilă cvadrupol: ${\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix)),$ ${\begin{pmatrix}cos({\sqrt {k_{x}}}L)&{\frac {1}{\sqrt {k_{x}}}}sin({\sqrt {k_{x }}}L)\\-{\sqrt {k_{x}}}sin({\sqrt {k_{x}}}L)&cos({\sqrt {k_{x}}}L)\end{pmatrix }}.$

Succesiunea mai multor elemente magnetice este descrisă, respectiv, prin produsul matricelor lor (compuse de la dreapta la stânga!): . Întregul inel al acceleratorului ciclic este o perioadă, în termeni de focalizare a particulelor, și este descris de așa-numita matrice inversă . Datorită teoremei Liouville privind conservarea volumului fazei , toate matricele de transport au proprietatea simplecticității , care pentru mișcarea unidimensională și matricele 2 × 2 înseamnă determinantul unitar : . $T=T_{n}\dots T_{2}T_{1)$ $M(s)=T(s\la s+\Pi)$ ${\begin{vmatrix}T(s_{1}\to s_{2})\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}M(s)\end{vmatrix}}=1$

Stabilitatea oscilației

Focalizare slabă

Să luăm în considerare așa-numitul accelerator simetric azimutal, adică. o mașină a cărei focalizare nu depinde de mișcarea de-a lungul inelului . Atunci este ușor de observat că ecuațiile lui Hill se transformă în ecuații ale unui oscilator armonic obișnuit , iar soluția va fi fie oscilații armonice stabile, fie funcții hiperbolice instabile dacă . Adesea, în locul gradientului de câmp G sau al rigidității de focalizare k, este introdus un factor de dezintegrare adimensională . Ca rezultat, condiția de stabilitate într-un accelerator simetric azimutal simultan în două coordonate transversale va fi , i.e. . Și deși un accelerator real nu are niciodată o simetrie azimutală perfectă (datorită necesității de a plasa un rezonator accelerator, injecție de particule etc.), prima generație de acceleratoare ciclice a fost construită în conformitate cu acest principiu, de fapt, o condiție locală de simultană. stabilitate în ambele grade de libertate [1] . Acest principiu a fost numit ulterior focalizare slabă . $k(s)=const$ $k<0$ $n=-{\frac {Gr_{0}^{2}}{B\rho }}$ $k_{x,y}>0$ $1>n>0$

Pentru o mașină cu simetrie azimutal, este ușor să se calculeze funcțiile structurale, de exemplu, funcția beta este direct proporțională cu raza magnetului și, deoarece dimensiunea fasciculului este proporțională cu produsul dintre anvelopă și emitanță , atunci cu o creștere a energiei fasciculului și, prin urmare, dimensiunea acceleratorului, dimensiunea fasciculului crește inevitabil (și odată cu aceasta - camera de vid și dimensiunea elementelor magnetice). Ultimul accelerator cu focalizare slabă din fizica energiei înalte, sincrofazotronul de protoni de 10 GeV din Dubna avea o cameră cu vid în care o persoană se putea urca în patru picioare, iar greutatea magnetului câmpului de ghidare era de peste 30.000 de tone. $\beta _{x}(s)=r_{0}/(1-n)$ $\sigma _{x}={\sqrt {\beta _{x}\cdot \epsilon _{x)))$

Focalizare puternică

Principiul focalizării puternice poate fi înțeles prin următorul exemplu: dacă două lentile subțiri sunt plasate una în spatele celeilalte la o anumită distanță, una focalizând a doua defocalizare, atunci dubletul format în anumite condiții se poate dovedi a fi focalizare. Cu alte cuvinte, „instabilitatea” locală (defocalizarea) nu distruge neapărat stabilitatea globală.

Se consideră matricea (pentru simplitate 2×2) a perioadei structurii de focalizare a acceleratorului, matricea inversă M(s). Pentru aceasta, se poate construi o pereche de vectori proprii conjugați complecși

$Y_{x},Y_{x}^{*}={\begin{pmatrix}w_{x}(s)\\w_{x}'(s)\pm {\frac {i}{w_ {x}(e)}}\end{pmatrix}},$

și o pereche de valori proprii , unde este incursiunea fazei betatron pe revoluție, este frecvența adimensională a oscilațiilor betatronului. Dacă vectorul valorilor inițiale este extins în ceea ce privește baza vectorilor proprii, atunci după o revoluție abaterea particulei va fi egală cu , după n rotații . Este clar că pentru a asigura stabilitatea, adică absența unei creșteri a amplitudinii oscilațiilor, este necesar ca , sau cu alte cuvinte . $\lambda _{1,2}=e^{\pm i\mu}=e^{\pm i2\pi \nu )$ $\mu =\int \limits _{s}^{s+\Pi }\Psi (s)$ $\nu$ ${\vec {X_{0}}}=(x_{0},x'_{0})$ ${\vec {X_{1}}}=M\cdot {\vec {X_{0}}}=c_{1}\lambda _{1}Y+c_{2}\lambda _{2} Y^{*}$ ${\vec {X_{n}}}=M^{n}{\vec {X_{0}}}=c_{1}\lambda _{1}^{n}Y+c_{2} \lambda _{2}^{n}Y^{*}$ ${\begin{vmatrix}\lambda _{1,2}\end{vmatrix}}\leqslant 1$ $\nu \in \mathbb {R}$

Sensul fizic al frecvenței betatronului este numărul de oscilații pe rotație. În cazul unei mașini cu simetrie azimutal , frecvențele betatronului sunt mai mici de 1. Focalizarea puternică este caracterizată de relațiile . Dacă folosim așa-numita aproximare netezită (adică pentru a face o analogie între un inel de focalizare greu și o mașină simetrică azimutal), atunci estimarea pentru funcția beta va fi . Pentru un accelerator de electroni, în plus, în comparație cu cazul focalizării slabe, valoarea emisiei radiative de echilibru scade . Ca rezultat, dimensiunea fasciculului scade semnificativ și, prin urmare, dimensiunea camerei de vid și a elementelor magnetice. $\nu$ $\nu _{x}={\sqrt {1-n)),\nu _{y}={\sqrt {n))$ ${\begin{vmatrix}n\end{vmatrix}}\gg 1,\nu _{x,y}\gg 1$ $\beta _{x,y}=r_{0}/\nu _{x,y}\ll r_{0)$

Parametrizare Twiss

Când folosiți parametrii Twiss ( și ), matricea inversă poate fi scrisă într-o formă generală convenabilă: $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\psi$

$M(s)={\begin{pmatrix}cos(\mu)+\alpha (s)\sin(\mu)&\beta (s)\sin(\mu)\\-\gamma (s) )\sin(\mu )&cos(\mu )-\alpha (s)\sin(\mu )\end{pmatrix}}.$

În acest caz, condiția de stabilitate menționată mai sus poate fi scrisă din punct de vedere al proprietăților matricei: . ${\begin{vmatrix}Tr(M)/2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}cos(\mu )\end{vmatrix}}\leqslant 1$

Exemplu: structura FO

Luați în considerare un exemplu simplu de mișcare unidimensională: o structură de focalizare periodică constând dintr-un spațiu gol și o lentilă de focalizare subțire. Matricea perioadei calculată la începutul perioadei se obține prin înmulțirea matricelor elementelor individuale:

$M(0)={\begin{pmatrix}1&0\\-P&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} 1&L\\-P&1-PL\end{pmatrix}}.$

Aici , este puterea lentilei, care este invers proporțională cu distanța focală. Conditia de stabilitate da . Dacă prima condiție este evidentă - obiectivul trebuie să focalizeze, atunci a doua condiție limitează puterea de focalizare de sus. $P=1/F$ ${\begin{vmatrix}Tr(M)/2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1-PL/2\end{vmatrix}}\leqslant 1\to (0<PL<4 )$

Exemplu: structura FODO

În practică, structura FO este aplicabilă numai la energii joase, unde este disponibilă focalizarea axială printr-un câmp solenoidal. În acceleratoarele de înaltă energie, de regulă, se utilizează focalizarea cu lentile cvadrupolare , a cărei proprietate, impusă de ecuațiile lui Maxwell în vid, este defocalizarea de-a lungul uneia dintre coordonate, în timp ce focalizarea de-a lungul celei de-a doua. Una dintre cele mai simple opțiuni pentru a asigura stabilitatea în ambele coordonate este focalizarea cu dublete de lentile F și D (o lentilă se numește lentilă de focalizare sau lentilă F dacă focalizează într-un plan orizontal).

Note

↑ De fapt, se poate demonstra că condiția focalizării locale în ambele coordonate nu garantează stabilitatea globală a oscilațiilor.

Literatură

Sincrotronul cu focalizare puternică - Un nou accelerator de înaltă energie , ED Courant , MS Livingston , HS Snyder , Phys. Rev. 88, 1190–1196 (1952).
Teoria sincrotronului cu gradient alternativ , E. D. Courant, H. S. Snyder, Ann. Fiz. , 1958, v.3, p. unu.
„Teoria acceleratorilor ciclici”, A.A. Kolomensky , A.N. Lebedev , M., 1962.
„Acceleratorii ciclici ai particulelor încărcate”, G. Brook, trad. din franceză, Moscova, 1970.
Oscilațiile betatronului în Enciclopedia Fizicii .
Focalizarea particulelor în Enciclopedia fizică.