Bloc Hamiltonian

Hamiltonianul de bloc este un Hamiltonian care descrie comportamentul critic al unui magnet în apropierea punctului unei tranziții de fază de ordinul doi .

Subiect

Un magnet este considerat în vecinătatea punctului Curie . Comportarea unui magnet în această regiune este determinată de divergența unui număr de caracteristici termodinamice (cum ar fi capacitatea termică , susceptibilitatea ). Ipoteza termodinamică a similarității conectează toate divergențele cu o creștere nelimitată a lungimii corelației . Lungimea corelației este măsurată direct folosind experimente de împrăștiere a neutronilor. Scopul acestui articol este de a descrie modul de obținere a unui Hamiltonian care ar defini convenabil sistemul în condiții de corelații crescătoare.

Hamiltonieni celulari

Deoarece fenomenele critice și formarea unei rețele cristaline și a învelișurilor atomice interne nu sunt în niciun fel legate între ele, vom considera că acestea din urmă sunt date. Presupunând că fenomenele critice se datorează comportamentului colectiv la scară largă a spinurilor electronilor , constatăm că, după toate probabilitățile, nu trebuie să cunoaștem structura benzii și multe alte detalii - trebuie doar să cunoaștem efectul lor general asupra interacțiunea dintre spinurile electronilor. În acest caz, pot fi făcute simplificări și mai puternice. Luați în considerare spinurile clasice, câte unul în fiecare celulă elementară a unei rețele cristaline date, cu o interacțiune spin-spin cunoscută. Vom neglija natura cuantică, mișcarea electronilor și multe alte detalii. Exemple de modele care operează cu astfel de ipoteze sunt modelul Ising și modelul Heisenberg .

Atribuim fiecărei celule o variabilă de spin , care servește ca măsură a spinului total al celulei c. În total, rețeaua conține celule și, în consecință, variabile de spin. Vom numi aceste variabile rotații celulare. Energia de spin este o funcție a variabilelor de spin. Acesta este spinul celular Hamiltonian. Să-i spunem celula Hamiltonian. $\sigma _{{c}}$ $L^{3}$ $L^{3}$ ${\hat {H}}[\sigma ]$

Model Ising

Acest model este caracterizat de o celulă hamiltoniană de formă

${\hat {H}}[\sigma ]={\frac {1}{2}}J\sum _{{c}}\sum _{{r}}'(\sigma _{{c}}- \sigma _{{c+r}})^{2},\qquad (1)$

unde suma peste r este luată numai peste cei mai apropiați vecini ai celulei c. Variabilele de rotație pot lua doar două valori . Hamiltonianul (1) permite cel mai simplu mod de a reflecta faptul că energia pentru spini orientați identic este mai mică decât pentru spinuri orientate în sens opus. J - „ schimb energie ”. $\sigma _{{c}}=\pm 1$

Modelul Heisenberg

Modelul Heisenberg este o generalizare a modelului Ising în cazul în care spinul poate fi orientat într-un mod arbitrar. Pentru a descrie fiecare spin, avem nevoie de un vector

$\sigma _{{c}}=(\sigma _{{1c}},\sigma _{{2c}},\sigma _{{3c}}).\qquad (2)$

Pentru , se introduce produsul scalar obișnuit și se păstrează aspectul hamiltonianului (1). $\sigma _{{c}}$

Model XY

Modelul XY este un caz intermediar între modelul Ising și modelul Heisenberg. Servește pentru a descrie magneții cu spinuri orientate în principal într-un singur plan.

Construcția blocului Hamiltonian, transformarea Kadanoff

În condițiile unei creșteri a lungimii corelației, este rezonabil să presupunem că comportamentul critic al unui magnet nu va depinde de rotațiile celulelor elementare specifice, ci va fi determinat mai degrabă de valorile medii ale spinurilor întregilor regiuni. din eşantionul studiat. Să construim un bloc hamiltonian în funcție de astfel de mijloace. O astfel de construcție se numește transformarea Kadanoff .

Prima cale

Să construim un hamiltonian de bloc care descrie interacțiunea dintre spinurile blocului. Pentru a face acest lucru, împărțim cristalul în blocuri cubice cu dimensiunea celulelor elementare, unde d este dimensiunea spațiului în care este studiat sistemul. Pentru fiecare bloc, definim rotația blocului ca suma rotațiilor celulei împărțită la . Parametrii blocului hamiltonian rezumă detaliile esențiale ale comportamentului sistemului la scara constantelor rețelei b. $b^{d}$ $b^{d}$

Fie probabilitatea de a găsi un sistem cu o distribuție dată de spini peste celule egală cu

$P[\sigma ]\sim exp[-{\hat {H}}[\sigma ]/T].\qquad (3)$

Atunci probabilitatea de a găsi un sistem cu o distribuție dată a spinilor blocului va fi exprimată ca

$P'[\sigma ]\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,x}}\delta (\sigma _{{i, x}}-b^{{-d}}\sum _{{c}}^{{x}}\sigma _{{i,c}})\prod _{{j,c}}d\sigma _{{j,c}}\equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (4)$

această formulă poate fi luată ca definiție a blocului Hamiltonian . ${\hat {H'}}[\sigma ]$

$K_{{b}}{\hat {H}}[\sigma ]={\hat {H'}}[\sigma ]\qquad (5)$

Proprietatea transformării Kadanoff este evidentă

$K_{{b_{{1}}}}K_{{b_{{{2}}}}{\hat {H}}[\sigma ]=K_{{b_{{1}}*b_{{2}} }}{\hat {H}}[\sigma ].\qquad (6)$

A doua cale

Considerați Hamiltonianul celulei ca o funcție a componentelor Fourier ${\hat {H}}[\sigma ]$ $\sigma _{{k}}$

$\sigma _{{c}}=L^{{-d/2}}\sum _{{k}}e^{{ik*c}}\sigma _{{k}},\quad \sigma _ {{k}}=L^{{-d/2}}\sum _{{c}}e^{{-ic*k}}\sigma _{{c}}.\qquad (7)$

Introducem acum blocul Hamiltonian în felul următor

$P'\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,k>\Lambda }}d\sigma _{{i,k}} \equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (8)$

în acest caz, rotirea blocului este definită ca

$\sigma (x)=L^{{-d/2}}\sum _{{k<\Lambda }}e^{{ik*x}}\sigma _{{k}},\qquad (9)$

și descrie configurația de rotire pe scale până la $b\sim \Lambda ^{{-1}}$

Notă

Prima și a doua modalitate de definire a blocului Hamiltonian nu sunt complet echivalente și definesc obiecte diferite din punct de vedere formal.

Literatură

1. Ma Sh. Teoria modernă a fenomenelor critice. — M.: Mir, 1980. — 297 p.

2. A. N. Vasil’ev, Grupul de renormalizare a câmpului cuantic în teoria comportamentului critic și a dinamicii stocastice. - Sankt Petersburg: Editura PNPI, 1998. - 774 p. — ISBN 5-86763-122-2