Modelul Ising

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 octombrie 2013; verificările necesită 30 de modificări .

Modelul Ising este un model matematic de fizică statistică conceput pentru a descrie magnetizarea unui material.

Descriere

Fiecărui vârf al rețelei cristaline (nu sunt luate în considerare doar cazuri tridimensionale, ci și uni și bidimensionale) i se atribuie un număr numit spin și egal cu +1 sau -1 („câmp în sus” / „câmp în jos”) . Fiecărei opțiuni posibile pentru aranjarea spinilor (unde este numărul de atomi de rețea) i se atribuie energia rezultată din interacțiunea pe perechi a spinilor atomilor vecini: $2^N$ $N$

$E(S)=-J\sum _{{i\sim j}}S_{i}S_{j}\,,$

unde este energia de interacțiune (în cel mai simplu caz, aceeași pentru toate perechile de atomi vecini). Uneori se ia în considerare și un câmp extern (deseori se presupune că este mic): $J$ $h$

$H=-J\sum _{i\sim j}S_{i}S_{j}-h\sum _{i}S_{i}.$

Apoi, pentru o temperatură reciprocă dată , distribuția Gibbs este considerată pe configurațiile rezultate : probabilitatea unei configurații se presupune a fi proporțională cu , iar comportamentul unei astfel de distribuții este studiat pentru un număr foarte mare de atomi . $\beta =1/k_{B}T$ $e^{-\beta E(S))$ $N$

De exemplu, în modelele cu dimensiuni mai mari de 1, are loc o tranziție de fază de ordinul doi : la temperaturi suficient de scăzute, majoritatea spinurilor unui feromagnet (la ) vor fi orientate (cu o probabilitate apropiată de 1) în același mod , iar la temperaturi ridicate, învârtirile vor fi aproape sigur „în sus” și „jos” vor fi aproape egale. Temperatura la care are loc această tranziție (cu alte cuvinte, la care proprietățile magnetice ale materialului dispar) se numește critică, sau punct Curie . În vecinătatea punctului de tranziție de fază, o serie de caracteristici termodinamice diferă. Experiența arată că divergența are un caracter universal și este determinată doar de simetria sistemului. Pentru prima dată, exponenții critici ai divergențelor au fost obținuți pentru modelul bidimensional Ising în anii 40 de L. Onsager . Pentru alte dimensiuni, studiile sunt efectuate folosind metode de simulare pe calculator și grup de renormalizare . Justificarea utilizării grupului de renormalizare în acest caz este construcția blocului lui Kadanoff și ipoteza similarității termodinamice . $J>0$

Introdus inițial pentru a înțelege natura feromagnetismului, modelul Ising s-a găsit în centrul diferitelor teorii fizice legate de fenomene critice, lichide și soluții, ochelari de spin, membrane celulare, modelarea sistemului imunitar , diverse fenomene sociale etc. acest model servește drept teren de testare pentru testarea metodelor de simulare numerică a diferitelor fenomene fizice.

S-au obținut soluții exacte pentru modelele Ising unidimensionale și bidimensionale: pentru modelul unidimensional de Ising însuși, pentru modelul bidimensional de Onsager în 1944 [1] .

Model Ising unidimensional

În cazul unei dimensiuni, modelul Ising poate fi reprezentat ca un lanț de rotiri care interacționează. S-a găsit o soluție exactă pentru un astfel de model, dar în cazul general problema nu are o soluție analitică.

Algoritm pentru implementarea modelului Ising prin metoda Monte Carlo pe un computer

Creați o rețea de rotiri (matrice bidimensională), rotiri sunt orientate în mod arbitrar.
Alegeți aleatoriu una dintre celulele grilei, ștergeți valoarea din ea.
Calculați energiile configurațiilor atunci când această celulă este plină cu rotiri în sus și în jos (sau pentru toate stările posibile, dacă există mai mult de două).
Alegeți una dintre opțiunile pentru spinul „șters” aleatoriu, cu o probabilitate proporțională cu , unde este energia în starea corespunzătoare (deoarece toți termenii care nu afectează spinul dat sunt la fel, de fapt, doar sume peste vecini trebuie calculate). $e^{-\beta E(S))$ $E(S)$
Revenim la punctul 2; după ce a fost efectuat un număr suficient de iterații (determinarea acesteia este o sarcină separată și dificilă), bucla se oprește.

Aplicații

În 1982, Hopfield a demonstrat izomorfismul modelului Ising și modelele recurente ale rețelelor neuronale [2] .

Calculatorul cuantic D-Wave Systems se bazează pe modelul Ising. Cu toate acestea, eficiența computerului ridică întrebări, care a fost motivul unor noi cercetări, al căror scop este acela de a compara corect algoritmii și algoritmii clasici pentru calculatoarele DWave. S-a dovedit că există probleme asupra cărora un computer cuantic adiabatic cu siguranță nu este mai eficient decât unul clasic [3] .

Vezi și

Model latice (fizică)
Rețeaua neuronală Hopfield
Stanislav Smirnov - câștigător al Premiului Fields (2010) „pentru demonstrarea invarianței conforme a percolării bidimensionale și a modelului Ising în fizica statistică”

Note

Comentarii

Surse

↑ Gelfer Ya. M. , Istoria și metodologia termodinamicii și fizicii statistice, 1981 , p. 426.
↑ Khaykin S., 2006 , p. 79.
↑ Katzgraber, Hamze, Andrist, 2014 , p. 6.

Literatură

Cărți

Gelfer Ya. M. Istoria și metodologia termodinamicii și fizicii statistice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare - M . : Şcoala superioară , 1981. - 536 p.
Belavin A.A. , Kulakov A.G. , Usmanov R.A. Prelegeri de fizică teoretică . — M .: MTSNMO , 2001. — 224 p. — ISBN 5-900916-91-X .
Baxter R. Modele exact rezolvabile în mecanica statistică. — M .: Mir , 1985.
Khaikin S. Rețele neuronale: un curs complet. - M . : Editura „Williams”, 2006. - 1104 p. — ISBN 5-8459-0890-6 .
Ziman J. Principiile teoriei corpurilor rigide. - M . : Mir, 1974. - 472 p.

Articole științifice

Meilikhov E.Z. Viața tragică și fericită a lui Ernst Ising // Natura. - 2006. - Nr 7 .
Stepanov IA Soluții exacte ale modelelor Ising unidimensionale, bidimensionale și tridimensionale // Nanoștiință și nano tehnologie: un jurnal indian. - 2012. - Vol. 6, nr. 3 . - P. 118-122. gratis online..
Katzgraber HG , Hamze F. , Andrist SR Himerele sticloase ar putea fi nevăzute la accelerarea cuantică: proiectarea unor puncte de referință mai bune pentru mașinile de recoacere cuantică // Phys. Rev. X. - 2014. - Vol. 4. - P. 1-8. - doi : 10.1103/PhysRevX.4.021008 .

Secţiuni de fizică statistică
Mecanica statistica statistica cuantică Fizica moleculară Cinetica fizica Teoria câmpului statistic
Fizica materiei condensate	Fizica stării solide Fizica fluidelor Fizica atomilor si moleculelor Fizica nanostructurilor