Variație funcțională

Variația funcționalului , sau prima variație a funcționalului , este o generalizare a conceptului de diferențială a unei funcții a unei variabile, principala parte liniară a incrementului funcționalului pe o anumită direcție. Conceptul este folosit în teoria problemelor extreme pentru a obține condiții necesare și suficiente pentru un extremum. Tocmai acest sens este pus în acest termen, pornind de la lucrarea din 1762 a lui J. Lagrange [1] . J. Lagrange a luat în considerare în principal funcționalele calculului clasic al variațiilor ( acțiune ) de forma:

J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t)) \,dt.\qquad (*)

Definiție formală

Luați în considerare schimbarea funcționalului (*) dintr-un punct al spațiului funcțional în altul (de la o funcție la alta). Pentru a face acest lucru, vom face o înlocuire și o înlocuire în expresia (*). În ipoteza diferențiabilității continue , există o egalitate similară cu expresia pentru diferența unei funcții: $x(t)\mapsto x_{1}(t)-x(t)$ $L$

J(x_{1})=J(x)+J_{1}(\delta x)+\varepsilon r(x,\;x_{1}),

unde restul este distanța dintre funcțiile și , și . În acest caz, funcționalitatea liniară se numește ( prima ) variație a funcționalei și se notează cu . $|r(x,\;x_{1})|\la 0$ $\varepsilon\la 0$ $\delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)$ $J_{1}(\delta x)$ $J(x)$ $\delta J$

În ceea ce privește funcționalitatea (*), pentru prima variație, egalitatea are loc până la o valoare de ordin mai mare decât : $|r(\delta x)|$

\delta J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x) }}(t))\,\delta x+p(t)\,\delta {\dot {x}})\,dt=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}} (L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))-{\dot {p}}(t))\,\delta x\,dt+p (t)\,\delta x)|_{t_{0}}^{t_{1}},

Unde

p(t)=L_{\dot {x}}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))

- impuls generalizat.

În același timp , din moment ce $p(t)\,\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}=0$ $\delta x(t_{0})=\delta x(t_{1})=0.$

Egalitatea la zero a primei variații pentru toți este o condiție necesară pentru extremul funcționalului . Pentru funcția (*), această condiție necesară și lema principală a calculului variațiilor implică ecuația lui Euler: $\delta x$ $J(x)$

{\dot {p}}(t)=L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t)).

Variațiile de ordine superioare sunt definite într-un mod similar.

Definiția generală a primei variații în analiza infinit-dimensională a fost dată de matematicianul francez René Gateauîn 1913. În esență, definiția lui Gateau este identică cu definiția lui Lagrange [2] .

Prima variație a funcționalului este o funcțională omogenă, dar nu neapărat liniară, variația funcționalului sub ipoteza suplimentară de liniaritate și continuitate (în ) a expresiei este de obicei numită derivată Gateaux . În matematica modernă, termenii „ variație Gato ”, „ derivată Gato ”, „ diferenţial Gato ” sunt mai frecvent folosiţi decât variaţia funcţională [3] . În același timp, termenul „variație funcțională” este reținut doar pentru funcționalele calculului clasic al variațiilor. $\delta x$ $\delta J(x,\;\delta x)$

Literatură

Lavrentiev, M. A., Lyusternik, L. A. Un curs în calculul variațiilor. - în 2 vol. - Ed. a II-a. - M. - L. : ONTI, 1953.

Note

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies. — Torino, 1762.
↑ Gateaux R. Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1919. - or. 47.-p. 70-96.
↑ Enciclopedia matematică / Ed. I. M. Vinogradova. - M . : Mir, 1977. - T. 1. - 1140 p.