Vector Witt

În matematică , vectorul Witt este o succesiune infinită de elemente ale unui inel comutativ .

Ernst Witt ( germană: Ernst Witt ) a arătat cum se impune o structură inelară pe o mulțime de vectori Witt, astfel încât inelul vectorilor Witt peste un câmp finit de ordin p să fie inelul numerelor întregi p - adici .

E. Witt a propus acești vectori pentru prima dată în 1937 în legătură cu descrierea extensiilor de câmp neramificate ale numerelor p -adice, precum și (motivația primară a lui Witt) extensiilor ciclice ale câmpurilor caracteristice p (vezi Witt 1937). Mai târziu, vectorii Witt au fost aplicați în studiul varietăților algebrice pe un câmp de caracteristică pozitivă, precum și în teoria grupurilor algebrice comutative și în teoria grupurilor formale.

Motivație

Orice număr întreg p - adic poate fi scris unic ca o serie de puteri , unde sunt de obicei luate din mulțime . Această mulțime nu este singura reprezentare posibilă, iar Teichmüller a propus o altă mulțime formată din 0 și rădăcini ale unuia. Cu alte cuvinte, p rădăcini $a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+...$ $a_{i}$ ${0,1,2,...,p-1}$ $p-1$

x^{p}-x=0

Această reprezentare Teichmüller poate fi identificată cu elementele unui câmp finit de ordin p (folosind resturile modulo p), astfel încât această reprezentare stabilește o corespondență între o succesiune infinită de elemente de câmp și o mulțime de numere p -adice. $F_{p}$ $F_{p}$

Cum să descriem în mod explicit rezultatul adunării și înmulțirii a două secvențe infinite de elemente care sunt reprezentări Teichmüller ale numerelor întregi p - adice? Această problemă a fost rezolvată de Witt folosind vectori Witt. $F_{p}$

Construcția inelelor Witt

Să luăm un număr prim p . Vectorul Witt peste un inel comutativ R este o succesiune de elemente ale lui R . Definim polinoamele Witt după cum urmează: ${X_{0},X_{1},X_{2},...}$ $W_i$

W_{0}=X_{0}

W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}

W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}

în general

W_{n}=\sum _{i}p^{i}X_{i}^{p^{ni}}.

Witt a arătat că există o construcție functorială unică a unui inel comutativ (nu un R - algebră!) W(R) pentru orice inel comutativ R , astfel încât elementele lui W(R) să fie vectori Witt și astfel încât fiecare polinom Witt să fie un homomorfismul inelului W(R ) la R. Mai mult, „functorial” înseamnă că construcția inelului W(R) pentru orice inel R are, de asemenea, o construcție a unui homomorfism inel pentru fiecare homomorfism inel , astfel încât, ca rezultat, W este un functor din categoria inelelor comutative. în sine. $W_{n}$ $W\stanga(R\dreapta)\la W\stanga(S\dreapta)$ $R\la S$

Inelul W(R) se numește inelul vectorilor Witt peste R . Suma și produsul a două elemente ale lui W(R) sunt date de niște polinoame cu coeficienți întregi independenți de R .

Primele câteva polinoame care dau suma și produsul vectorilor Witt pot fi reprezentate în mod explicit. De exemplu,

( X 0 , X 1 ,…) + ( Y 0 , Y 1 ,…) = ( X 0 + Y 0 , X 1 + Y 1 + ( X 0 p + Y 0 p − ( X 0 + Y 0 ) p )/ p , …) ( X 0 , X 1 ,…) × ( Y 0 , Y 1 ,…) = ( X 0 Y 0 , X 0 p Y 1 + Y 0 p X 1 + p X 1 Y 1 , …)

Exemple

Inelul Witt al oricărui inel comutativ R în care p este inversabil este pur și simplu izomorf (la produsul unui număr finit de copii ale lui R ). De fapt, polinoamele Witt dau întotdeauna un homomorfism din inelul vectorilor Witt la , iar dacă p este reversibil, acest homomorfism este un izomorfism. $R^{N}$ $R^{N}$
Inelul Witt peste un câmp finit de ordin p este inelul de p - întregi adici.
inelul Witt al unui câmp de ordin finit este o extensie neramificată de gradul n a inelului de numere întregi p - adice. $p^{n}$

Vectori universali Witt

Polinoamele Witt pentru diverse numere prime p sunt un caz special de polinoame Witt universale care pot fi folosite pentru a construi inele Witt universale (nedepende de un prim p ).

Să definim polinoamele Witt universale pentru formule $W_{n}$ $n\geq 1$

W_{1}=X_{1}

W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}

{\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3))

W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}

în general

W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.

Se pot folosi aceste polinoame pentru a defini un inel de polinoame Witt universale peste un inel comutativ R exact în același mod ca mai sus (deci polinoamele Witt universale sunt homomorfisme în inelul R ).

Diagrame inelare

Maparea de la un inel comutativ R la un inel vectorial Witt peste R (pentru un prim fix p ) este un functor dintr-un inel comutativ la un inel comutativ, care este, de asemenea , reprezentabil , astfel încât să poată fi gândit ca o schemă de inel , care se numește o schemă Witt peste Spec( Z ). Schema lui Witt poate fi identificată canonic cu spectrul inelului de funcții simetrice .

În mod similar, inelele de vectori Witt trunchiați și inelele de vectori Witt universali corespund schemelor inelare numite scheme Witt trunchiate și scheme Witt universale .

Mai mult, un functor dintr-un inel comutativ R la o mulțime reprezentată de un spațiu afin și o structură de inel se traduce într-o schemă de inel . Din structura vectorilor Witt trunchiați rezultă că schema lor inelară asociată este o schemă cu o structură inelar unică, astfel încât morfismul dat de polinoamele Witt este un morfism de schemă. $R^{n}$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n)$ $R^{n}$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n)$ ${\subline {\mathcal {O}}}^{n}$ $\mathbb {W} _{n}$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n)$ $\mathbb {W} _{n}\rightarrow {\underline {\mathcal {O}}}^{n}$

Grupuri algebrice unipotente comutative

Peste un câmp algebric închis cu caracteristica 0, orice grup algebric conex abelian unipotent este izomorf la un produs al copiilor unui grup aditiv . $G_a$

Analogia pentru câmpurile cu caracteristica p este incorectă - schemele Witt trunchiate sunt un contraexemplu (le transpunem într-un grup algebric prin eliminarea structurii de înmulțire și folosind doar structura de adunare).

Vezi și

Grup formal (matematică)
Expozant Artin - Hasse

Link -uri

Hazewinkel, Michiel (2009), Vectori Witt. I., Manual de algebră. Vol. 6 , Amsterdam: Elsevier/North-Holland, p. 319–472, ISBN 978-0-444-53257-2
Mumford, David, Prelegeri despre curbe pe o suprafață algebrică , voi. 59, Analele Studiilor de Matematică, Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
Serre, Jean-Pierre (1979), Câmpurile locale , voi. 67, Texte pentru absolvenți în matematică, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5 , secțiunea II.6
Serre, Jean-Pierre (1988), Grupuri algebrice și câmpuri de clasă , voi. 117, Texte pentru absolvenți în matematică, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96648-9
Witt, Ernst (1937), Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p n . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p n , Journal für Reine und Angewandte Mathematik T. 176: 126–140 , < http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?ID72C5 > 50/? ID72C5 copie datată 26 martie 2015 la Wayback Machine
Greenberg, MJ (1969), Curs on Forms in Many Variables, New York și Amsterdam, Benjamin, MR 241358, ASIN: B0006BX17M
Leng S., Algebra, trad. din engleză, M., 1968;
Mumford, D., Prelegeri despre curbe pe o suprafață algebrică , trad. din engleză, M., 1968;
Serre J.P., Grupuri algebrice și câmpuri de clasă, trad. din franceză, Moscova, 1968;
Demazure M., Gabriel P., Groupes algebriques, or. 1. P.-Amst., 1970;
Dieudonne, J. Math. Ann., 1957, Bd 134, S. 114-33.