Matricea de greutate

În matematică , o matrice de ordine ponderată cu o pondere este o matrice astfel încât , unde este transpunerea matricei și este matricea de identitate a ordinii . O matrice de ponderi se mai numește și schemă de ponderi . $W$ $n$ $w$ $n\ ori n$ $(0,1,-1)$ $WW^{T}=wI_{n}$ $W^{T}$ $W$ $În}$ $n$

Pentru comoditate, matricea de greutate a comenzii și a greutății este adesea desemnată ca . $n$ $w$ $W(n,w)$

$W(n,n-1)$ este echivalent cu matricea conferinței și este echivalent cu matricea Hadamard . $W(n,n)$

Proprietăți

Unele proprietăți rezultă direct din definiție:

Rândurile matricei de greutate sunt ortogonale pe perechi. La fel și pentru coloane.
Fiecare rând și fiecare coloană conține exact elemente non-nule. $w$
$W^{T}W=wI$ , deoarece rezultă din definiție (se presupune că greutatea nu este egală cu 0). $W^{-1}=w^{-1}W^{T)$
$\mathrm {det} (W)=\pm w^{n/2)$ , unde este determinantul matricei . $det(W)$ $W$

Două matrice de greutate sunt considerate echivalente dacă una poate fi obținută din cealaltă printr-o serie de permutări și înmulțiri de rânduri și coloane ale matricei originale cu minus unu. Matricele de greutate sunt complet clasificate pentru cazurile când , precum și pentru toate cazurile când . [1] . Cu excepția acestui fapt, se cunosc foarte puține lucruri despre clasificarea matricelor de greutate circulantă . $w\leq 5$ $n\leq 15$

Exemple

Rețineți că la afișarea matricelor de greutate, este utilizat simbolul pentru -1. $-$

Să dăm două exemple: este o matrice de ponderi (matrice Hadamard) și este o matrice de ponderi. $W_2$ $W(2,2)$ $W_{7}$ $W(7,4)$

$W_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}$
$W_{7}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-&0&1&-&-&1&-&-\\ &-&1&0\end{pmatrix}}$

Întrebări deschise

Există multe întrebări deschise despre matricele de greutate. Principalul dintre acestea este existența lor: pentru ce numere n și w există W ( n , w )? Multe lucruri în această chestiune rămân necunoscute. O întrebare la fel de importantă, dar adesea neexplorată este cum să le numărăm: dat n și w , câte matrice W ( n , w ) există? Mai profund, s-ar putea întreba despre clasificare în termeni de structură, dar astăzi aceasta depășește cu mult capacitățile noastre, chiar și pentru matricele Hadamard sau matricele de conferință.

Link -uri

Despre problema de cântărire a lui Hotelling , Alexander M. Mood, Ann. Matematică. etatistul. Volumul 17, Numărul 4 (1946), 432-446.

Note

↑ M. Harada, A. Munemasa, On the classification of weighing matrices and self-orthogonal codes, 2011, http://arxiv.org/abs/1011.5382 Arhivat 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine .