Circulant

O matrice circulantă sau circulantă este o matrice de formă

C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},

unde toate sunt numere complexe [1] . Circularul poate fi, de asemenea, descris pe scurt ca [2] . Astfel, un circulant este o matrice în care orice rând (coloană) următor, începând de la primul (de la primul), se obține printr-o permutare alfabetică ciclică a elementelor rândului (coloana) precedent. Orice matrice circulantă este, prin definiție, Toeplitz . $a_{i}$ $C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n)}},\ i,j=1,\ldots,n$

De asemenea, determinantul unei astfel de matrice este adesea numit un circulant [3] .

Proprietăți

Fie și să fie matrici circulante. Atunci sunt valabile următoarele proprietăți [4] . $A$ $B$

$AB=BA$ și - circulator. $AB$
Matricele ( conjugat complex în funcție de elemente ), ( transpus ) și ( conjugat hermitian ) sunt circulante. $\overline {A}$ $A^{\mathrm {T} }$ $A^{*}$
Matricea este circulară la . $A^{k}$ $k\geqslant 0$
Dacă este nedegenerat , atunci este circulant. $A$ $A^{{-1}}$
Matricea este persimetrică și normală . $A$

Determinant

Să notăm rădăcina primitivă a unității ca . Atunci următoarea formulă pentru determinantul circulant este valabilă : $\zeta$ $n$ $C$

\operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n- 1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)})

Dovada

Să notăm și . Înmulțiți circularul din dreapta cu determinantul Vandermonde al formei : $f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1)$ $\zeta _{k}=\zeta ^{k)$ $|\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n)$

{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}& \zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2} ^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{ 2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\ cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{ 1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n}) \end{vmatrix}}=

$=f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _ {1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

În continuare, anulăm determinantul Vandermonde ca diferit de zero. ■

Cu alte cuvinte, valorile proprii ale circulantului sunt egale cu transformata Fourier discretă a vectorului [3] . $\left(a_{1},\ldots, a_{n}\right)$

Exemple

Pentru determinantul circulant este: $n=2$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2}) (a_{1}+a_{2}).

Pentru : $n=3,\omega ^{3}=1,\omega \neq 1$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3} &a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\omega +a_{3}\omega ^{2} )(a_{1}+a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ).

Definiții înrudite

Anticirculant

Anticirculantul este o matrice de o formă similară [5] :

{\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{ n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.

Kosocirculant

Vizualizați Matricea

\left({\begin{array}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2 }&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)

se numește -swing-circulant de ordin la [6] . $\varphi$ $n$ $\varphi \neq 0$

Evident, circulantul este un circulant înclinat , iar anticirculantul este un circulant înclinat. $(unu)$ $(-unu)$

Vezi și

matricea Hankel

Link -uri

Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Note

↑ Aldrovandi, 2001 , p. 83.
↑ Davis, 1979 , p. 66.
↑ 1 2 Aldrovandi, 2001 , p. 84.
↑ Bernstein, DS Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Forms . - Ed. a 2-a - Princeton University Press , 2009. - P. 356. - ISBN 978-0-691-13287-7 .
↑ Bini, Pan, 1994 , p. 132.
↑ Voevodin, Tyrtyshnikov, 1987 , p. 47.

Literatură

Maltsev, A. I. Fundamentele algebrei liniare. —M.:Nauka, 1975. — 400 p. (Rusă)
Davis, PJ Matrici circulante . - John Wiley & Sons , 1979. - ISBN 0-471-05771-1 .
Aldrovandi, R. Matrici speciale ale fizicii matematice :stocastice, circulante și Bell . - World Scientific , 2001. - ISBN 9810247087 .
Bini, D. , Pan, VY Calcule polinomiale și matrice (engleză) . - Birkhäuser Boston, 1994. - ISBN 0-8176-3786-9 .
Voevodin, V. V. , Tyrtyshnikov, E. E. Procese de calcul cu matrici Toeplitz. —M.:Nauka, 1987. — 320 p. (Rusă)