Set bine comandat

O mulțime bine ordonată este o mulțime ordonată liniar M astfel încât oricare dintre submulțimile sale nevide să aibă un element minim. Cu alte cuvinte, este o mulțime bine întemeiată cu o ordine liniară.

Exemple

Setul gol este bine ordonat.
Cel mai simplu exemplu de mulțime infinită bine ordonată este mulțimea numerelor naturale cu ordonare naturală.
Mulțimea numerelor întregi nu este complet ordonată, deoarece, de exemplu, nu există cel mai mic dintre numerele negative . Totuși, poate fi făcută destul de ordonată prin definirea unei relații non-standard „mai mică sau egală cu” [1] , pe care o notăm și o definim după cum urmează: $\preccurlyeq$

a\precurlyeq b,

dacă fie sau sau și

a=b,

|a|<|b|,

|a|=|b|

a<0<b.

Atunci ordinea numerelor întregi va fi: În special, va fi cel mai mic număr negativ.

0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots

-unu

Cel mai simplu exemplu de mulțime nenumărabilă bine ordonată este colecția tuturor numerelor ordinale numărabile ordonate după relația . Presupunând ipoteza continuumului, puterea sa este egală cu puterea continuumului. $\în$

Proprietăți

Conform teoremei lui Zermelo , dacă se acceptă axioma alegerii , atunci orice mulțime poate fi bine ordonată. Mai mult, afirmația că există o ordine completă pentru orice mulțime este echivalentă cu axioma alegerii. În special, în prezența axiomei de alegere, mulțimea numerelor reale poate fi ordonată complet.
Dacă X și Y sunt două mulțimi bine ordonate, atunci fie sunt izomorfe între ele, fie exact una dintre ele este izomorfă cu segmentul inițial al celeilalte.

Vezi și

Inducția transfinită

Literatură

N. K. Vereshchagin, A. Shen. Partea 1. Începuturile teoriei mulțimilor // Prelegeri despre logica matematică și teoria algoritmilor. — Ed. a II-a, corectată. - M. : MTSNMO , 2002. - 128 p.

Note

↑ Donald Knuth . Arta programarii, Volumul I. Algoritmi de baza. - M .: Mir , 1976. - S. 571 (15b). — 736 p.