Înălțimea polinomului

Înălțimea și lungimea unui polinom P cu coeficienți complecși sunt mărimi care denotă „mărimea” polinomului.

De asemenea, acești termeni sunt folosiți în relație cu numerele algebrice în sine : înălțimea și lungimea unui număr algebric sunt înălțimea și lungimea polinomului său minim .

Definiție

Pentru un polinom P de gradul n dat de formula

P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

înălțimea H ( P ) este valoarea maximă (modulo) a coeficienților săi:

H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|,

iar lungimea L ( P ) este suma valorilor absolute ale coeficienților:

L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.\,

Legătura cu măsura Mahler

Măsura Mahler M ( P ) a unui polinom P este, de asemenea, o măsură a mărimii unui polinom P. Cele trei funcții H ( P ), L ( P ) și M ( P ) sunt legate prin inegalități

{\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor ))^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1));

L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);

H(p)\leq L(p)\leq nH(p)

unde este coeficientul binom . $\scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor ))$

Note

Literatură

Peter Borwein. . - Springer-Verlag , 2002. - S. 2,3,142,148. - (CMS Cărți în Matematică). — ISBN 0-387-95444-9 .
K. Mahler. Pe două proprietăți extreme ale polinoamelor // Illinois J. Math .. - 1963. - T. 7 . — S. 681–701 .
Andrzej Schinzel . Polinoame cu atenție specială la reductibilitate. - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - V. 77. - S. 212. - (Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale). — ISBN 0-521-66225-7 .

Link -uri

Înălțimea polinomului la Mathworld