Măsura lui Mahler

Măsura Mahler pentru un polinom cu coeficienți complexi este definită ca $M(p)$ $p(z)$

M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n }\max\{1,|\alpha _{i}|\},

unde factorizează în domeniul numerelor complexe $p(z)$ $\mathbb {C}$

p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).

Măsura Mahler poate fi gândită ca un fel de funcție a înălțimii . Folosind formula lui Jensen , se poate arăta că această măsură este echivalentă cu media geometrică a numerelor de pe cercul unității (adică ): $|p(z)|$ $z$ $|z|=1$

M(p)={\color {Verde}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Verde} \ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).

Mai larg, măsura lui Mahler pentru un număr algebric este definită ca măsura lui Mahler a polinomului minim în peste . În special, dacă este un număr Pisot sau un număr Salem , atunci măsura lui Mahler este pur și simplu . $\alfa$ $\alfa$ $\mathbb {Q}$ $\alfa$ $\alfa$

Măsura Mahler este numită după matematicianul Kurt Mahler .

Proprietăți

Măsura Mahler este multiplicativă: unde este cuantificatorul universal . $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ $\pentru toți$
$M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau )$ , unde media puterii este norma pentru polinomul [1] . $\|p\|_{\tau}=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }$ $L_{\tau )$ $p$
( Teorema lui Kronecker ) Dacă este un polinom întreg normalizat ireductibil (coeficientul cel mai mare - 1) cu , atunci fie , fie este un polinom circular . $p$ $M(p)=1$ $p(z)=z$ $p$
( Conjectura lui Lemaire ) Dacă există o constantă astfel încât dacă este un polinom întreg ireductibil, atunci fie , fie . $\mu >1$ $p$ $M(p)=1$ $M(p)>\mu$
Măsura Mahler a unui polinom întreg normalizat este numărul Perron .

Măsură Mahler în mai multe variabile

Măsura Mahler pentru un polinom cu mai multe variabile este definită printr-o formulă similară [2] . $M(p)$ $p(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots,x_{n}]$

M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n)}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^ {2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1)),e^{i\ theta _{2)),\ldots ,e^{i\theta _{n))){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2} \cdots d\theta _{n}\right).

Această măsură păstrează toate cele trei proprietăți ale măsurii Mahler pentru un polinom dintr-o variabilă.

S-a demonstrat că, în unele cazuri, măsura Mahler multivariabilă este legată de valori speciale ale funcțiilor și -funcțiilor zeta . De exemplu, în 1981 Smith a demonstrat formulele [3] $L$

m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),

unde este funcția L Dirichlet și $L(\chi _{-3},s)$

m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)

unde este funcția zeta Riemann . Aici numită măsură Mahler logaritmică . $\zeta$ $m(P)=\log {M(P))$

Teorema lui Lawton

Prin definiție, măsura lui Mahler este considerată ca o integrală a unui polinom peste un tor (vezi conjectura lui Lehmer ). Dacă dispare pe tor , atunci convergența definiției integralei , nu este evidentă, dar se știe că converge și este egală cu limita măsurării Mahler într-o variabilă [4] , care a fost exprimată ca o presupunere de Boyd [5] [6] . $p$ $(S^{1})^{n)$ $M(p)$ $M(p)$

Să notăm numere întregi, să definim . Dacă este un polinom în variabile și , atunci să fie definit un polinom într-o variabilă ca $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j }\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}$ $Q(z_{1},\dots,z_{N})$ $N$ $r=(r_{1},\dots,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N)$ $Q_{r}(z)$

Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1)),\dots,z^{r_{N))),

a - cum $q(r)$

q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N} ,s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}

unde . $H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}$

Teorema (Lawton) : fie un polinom în N variabile cu coeficienți complexi - atunci următoarea limită este adevărată (chiar dacă condiția este încălcată ): $Q(z_{1},\dots,z_{N})$ $r_{i}\geq 0$

\lim _{q(r)\rightarrow \infty}M(Q_{r})=M(Q)

Propunerea lui Boyd

Boyd a propus o afirmație mai generală decât teorema de mai sus. El a subliniat că teorema Kronecker clasică, care caracterizează polinoamele normalizate cu coeficienți întregi ale căror rădăcini se află în interiorul cercului unitar, poate fi considerată o descriere a polinoamelor dintr-o variabilă pentru care măsura lui Mahler este exact 1 și că acest rezultat poate fi extinde la polinoame de mai multe variabile [6] .

Fie definit polinomul cerc extins ca un polinom de forma

\Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1} }\dots z_{n}^{v_{n}}),

unde este un polinom circular de gradul m , sunt numere întregi și este ales să fie minim, deci este un polinom în . Fie mulțimea de polinoame care sunt produsul dintre monomii și un polinom circular extins. Apoi se obține următoarea teoremă. $\Phi _{m}(z)$ $v_{i}$ $b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})$ $\Psi (z)$ $z_{i}$ $K_n$ $\pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}$

Teorema (Boyd) : fie un polinom cu coeficienți întregi - atunci numai atunci când este un element al . $F(z_{1},\dots,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots,z_{n}]$ $M(F)=1,$ $F$ $K_n$

Acest lucru l-a determinat pe Boyd să ia în considerare următoarele seturi:

L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \)),

si asociere . El a prezentat o ipoteză mai „avansată” [5] că mulțimea este o submulțime închisă . Validitatea acestei conjecturi implică imediat validitatea conjecturii lui Lehmer, deși fără o limită inferioară explicită. Deoarece din rezultatul lui Smith ${L}_{\infty}=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n)$ ${L}_{\infty )$ $\mathbb {R}$ [ clarifica ] rezultă că , Boyd a emis ulterior ipoteza că $L_{1}\subsetneqq L_{2}$

L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \\cdots \,.

Vezi și

Norma Bombieri
Înălțimea polinomului

Note

↑ Deși aceasta nu este adevărata normă pentru . $\tau <1$
↑ Schinzel, 2000 , p. 224.
↑ Smyth, 2008 .
↑ Lawton, 1983 .
↑ 12 Boyd, 1981a .
↑ 12 Boyd, 1981b .

Literatură

Peter Borwein. Excursii computaționale în analiză și teoria numerelor. - Springer , 2002. - T. 10. - S. 3, 15. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 .
David Boyd. Speculații cu privire la intervalul măsurării lui Mahler // Canada. Matematică. Bull.. - 1981a. - T. 24 , nr. 4 . — S. 453–469 . - doi : 10.4153/cmb-1981-069-5 .
David Boyd. Teorema lui Kronecker și problema lui Lehmer pentru polinoame în mai multe variabile // Journal of Number Theory . — 1981b. - T. 13 . — S. 116–121 . - doi : 10.1016/0022-314x(81)90033-0 .
David Boyd. Teoria numerelor pentru mileniu / MA Bennett. — A.K. Peters, 2002a. — p. 127–143.
David Boyd. Măsura lui Mahler, varietăți hiperbolice și dilogaritmul // Notele Societății Canadei de Matematică. — 2002b. - T. 34 , nr. 2 . — P. 3–4, 26–28 .
David Boyd, F. Rodriguez Villegas. Măsura lui Mahler și dilogaritmul, partea 1 // Canadian J. Math .. - 2002. - T. 54 . — S. 468–492 . - doi : 10.4153/cjm-2002-016-9 .
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Mahler măsură , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
JL Jensen. Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions // Acta Mathematica . - 1899. - T. 22 . — S. 359–364 . - doi : 10.1007/BF02417878 .
Donald E. Knuth. 4.6.2 Factorizarea polinoamelor // Algoritmi semimerici. — al 3-lea. - Addison-Wesley, 1997. - V. 2. - S. 439-461, 678-691. - ( Arta programarii computerelor ). — ISBN 0-201-89684-2 .
Wayne M. Lawton. O problemă a lui Boyd privind mediile geometrice ale polinoamelor // Journal of Number Theory . - 1983. - T. 16 . — S. 356–362 . - doi : 10.1016/0022-314X(83)90063-X .
MJ Mossinghoff. Polinoame cu măsură Mahler mică // Matematica calculului . - 1998. - T. 67 , nr. 224 . - S. 1697-1706 . - doi : 10.1090/S0025-5718-98-01006-0 .
Andrzej Schinzel. Polinoame cu atenție specială la reductibilitate. - Cambridge University Press , 2000. - V. 77. - (Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale). — ISBN 0-521-66225-7 .
Chris Smith. Teoria numerelor și polinoamele / James McKee, Chris Smyth. - Cambridge University Press , 2008. - T. 352. - S. 322-349. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 978-0-521-71467-9 .