Linie proiectivă

Linia proiectivă este un spațiu proiectiv unidimensional . O linie proiectivă este un set de linii (subspații unidimensionale) într-un spațiu liniar bidimensional. Punctele dreptei proiective pot fi date folosind coordonate omogene . Ca spațiu topologic, linia proiectivă este compactarea într-un punct a dreptei afine . $[x_{1}:x_{2}]$

Exemple

O linie proiectivă reală cu un creion de funcții netede este o varietate netedă . Această varietate este difeomorfă la un cerc . Linia proiectivă complexă - sfera Riemann - ca varietate reală, este difeomorfă față de sfera bidimensională . Pentru un câmp oblic de cuaternioni, linia proiectivă, ca varietate reală, este . $\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1)$ $\mathbb {C} P^{1}$ $S^{2}$ $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4)$

Acțiunea grupurilor pe linia proiectivă

Pentru grupuri , etc., se poate defini o acțiune pe linia proiectivă. Factorizând grupul de matrici scalare, obținem grupuri pentru care această acțiune este exactă. Pentru un câmp finit, acesta este izomorf la un subgrup al unui grup simetric finit [1] . $GL_{2}(k),SL_{2}(k)$ $PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)$ $PSL_{2}(k)$

În geometria algebrică

Linia proiectivă este un exemplu important de varietate proiectivă . Câmpul funcțiilor dreptei proiective este câmpul funcțiilor raționale. Grupul de automorfism al unui câmp este grupul . Dacă o curbă pătratică nedegenerată conține cel puțin un punct, atunci este izomorfă birațional cu linia proiectivă. $P^{1}(K)$ $K(X)$ $K(X)$ $PGL_{2}(K)$

Note

↑ Bogopolsky O.V. Introducere în teoria grupurilor. — 2002.

Literatură

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Linear Algebra and Geometry - M. : Nauka 1986.
Enciclopedia matematică, 1984, volumul 4, p.671, articol Linia proiectivă.
Hartshorne R. Geometrie algebrică - M. : Mir, 1981.