Punct fix hiperbolic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 ianuarie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Un punct fix hiperbolic ( punct hiperbolic ) este un concept fundamental utilizat în teoria sistemelor dinamice în relație cu mapările ( difeomorfisme ) și câmpurile vectoriale . În cazul unei mapări, un punct hiperbolic este un punct fix la care toți multiplicatorii ( valorile proprii ale liniarizării mapării la un punct dat) sunt modulo diferiți de unul. În cazul câmpurilor vectoriale, un punct hiperbolic este un punct singular la care toate valorile proprii ale liniarizării câmpului au părți reale diferite de zero. $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$

Varietăți stabile și instabile

Într-un punct hiperbolic al unui câmp vectorial (sau difeomorfism), spațiul tangent se descompune într-o sumă directă a două subspații invariante și , care sunt invariante sub operatorul părții liniare a câmpului: . Subspațiile și sunt definite, respectiv, de condițiile , în cazul câmpurilor vectoriale, și de condițiile , în cazul difeomorfismelor. Aceste subspații sunt varietățile invariante ale unui câmp vectorial liniarizat (difeomorfism) la un punct dat, ele sunt numite instabile și , respectiv, stabil . $T^{u}$ $T^{s}$ $\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}$ $T^{u}$ $T^{s}$ $\operatorname {Re} \lambda _{i}>0$ $\operatorname {Re} \lambda _{i}<0$ $|\mu _{i}|>1$ $|\mu _{i}|<1$

Varietățile instabile și stabile ale câmpului vectorial neliniar inițial (difeomorfism) sunt varietățile sale invariante și , tangente respectiv la subspații și în punctul luat în considerare și având aceleași dimensiuni ca și . Soiurile și sunt definite în mod unic [1] . Rețineți că varietățile și există nu numai în cazul punctelor singulare hiperbolice, ci și în cazul unui punct hiperbolic, suma dimensiunilor lor este egală cu dimensiunea întregului spațiu și nu există alte varietăți invariante care trec prin aceasta. punct singular [1] . $W^{u}$ ${\displaystyle W^{s))$ $T^{u}$ $T^{s}$ $T^{u}$ $T^{s}$ $W^{u}$ ${\displaystyle W^{s))$ $W^{u}$ ${\displaystyle W^{s))$

Teoreme asupra punctelor hiperbolice

Teorema Grobman-Hartman . În vecinătatea unui punct hiperbolic al unui difeomorfism neliniar (câmp vectorial), dinamica diferă de cea pentru maparea liniară corespunzătoare (câmpul vectorial) printr-o schimbare continuă a coordonatelor .

Teorema Hadamard-Perron. [2] [3] Într-o vecinătate a unui punct hiperbolic al unui câmp vectorial neted (sau analitic ) sau al difeomorfismului, există varietăți instabile și stabile și aceeași clasă de netezime (respectiv, analitică) care trec prin punctul dat. $W^{u}$ ${\displaystyle W^{s))$

teorema lui Chen. [4] [5] Dacă, într-o vecinătate a unui punct hiperbolic, două câmpuri vectoriale netede (difeomorfisme) sunt echivalente formal (adică sunt traduse unul în celălalt printr-o schimbare formală a variabilelor dată de seria formală de putere ), atunci ele sunt -neechivalente. $C^\infty$ $C^\infty$

Vezi și

Literatură

I. G. Sinai . Probleme moderne ale teoriei ergodice, - M .: Fizmatlit, 1995 (p. 137).
V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Ecuații diferențiale obișnuite, Sisteme dinamice - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. direcţii, 1, VINITI, M., 1985, 7–140
Marsden J., McCracken M. Bifurcarea nașterii ciclului și aplicațiile sale. M.: Mir, 1980.
Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Bifurcații nonlocale . - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .

Note

↑ 1 2 V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Ecuații diferențiale obișnuite, Sisteme dinamice - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. directii, 1, VINITI, M., 1985, capitolul 3. . Preluat la 24 martie 2018. Arhivat din original la 24 martie 2018. (nedefinit)
↑ V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Ecuații diferențiale obișnuite, Sisteme dinamice - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. directii, 1, VINITI, M., 1985, p. 61. . Preluat la 24 martie 2018. Arhivat din original la 24 martie 2018. (nedefinit)
^ Marsden J., McCracken M. Cycle birth bifurcation and its applications. M.: Mir, 1980.
↑ V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Ecuații diferențiale obișnuite, Sisteme dinamice - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. directii, 1, VINITI, M., 1985, p. 72. . Preluat la 24 martie 2018. Arhivat din original la 24 martie 2018. (nedefinit)
↑ Chen, Kuo-Tsai . Echivalența și descompunerea câmpurilor vectoriale despre un punct critic elementar. amer. J Math. 85 (1963), p. 693-722.