Funcția hipergeometrică

Funcția hipergeometrică (funcția Gauss) este definită în interiorul cercului ca suma seriei hipergeometrice $|z|<1$

F(a,b;c;z)=1+\sum _{{k=1}}^{\infty }\left[\prod _{{l=0}}^{{k-1}}{ (a+l)(b+l) \over (1+l)(c+l)}\right]z^{k}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z} {1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots ,

iar la - ca continuarea sa analitică . Este o soluție a unei ecuații diferențiale ordinare liniare de ordinul doi (ODE) numită ecuație hipergeometrică. $|z|>1$

Istorie

Termenul „serie hipergeometrică” a fost folosit pentru prima dată de John Wallis în 1655 în cartea Arithmetica Infinitorum . Acest termen se referea la o serie, formula generală a cărei termeni are forma [1]

{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n)).

Serii hipergeometrice au fost studiate de Leonhard Euler , iar mai detaliat de Gauss [2] . În secolul al XIX-lea, studiul a fost continuat de Ernst Kummer, iar Bernhard Riemann a definit funcția hipergeometrică în termenii ecuației pe care o satisface.

Ecuație hipergeometrică

Luați în considerare ecuația diferențială Euler în care parametrii a , b și c pot fi numere complexe arbitrare. Generalizarea lui la puncte singulare regulate arbitrare este dată de ecuația diferențială Riemann . Ecuația lui Euler are trei puncte singulare : 0, 1 și . $z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{\frac {du}{dz}}-abu =0,$ $\infty$

Când parametrul nu este egal cu zero și numere întregi negative , soluția ecuației lui Euler regulată la zero poate fi scrisă printr-o serie numită hipergeometrică: $c$ $(c\neq 0,-1,-2,\ldots)$

_{2}F_{1}(a,b;c;z)\equiv F(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1 !}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots .

Această funcție se numește hipergeometrică. Notație folosită des ( simbolul Pochhammer )

(p)_{n}={\frac {\Gamma (p+n)}{\Gamma (p))),

unde este funcția gamma . Atunci funcția hipergeometrică poate fi reprezentată ca $\Gamma$

F(a,b;c;z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}} {(c)_{n}n!}}.

Notația indică faptul că există doi parametri, a și b, „mergând la numărător”, și unul, c, „mergând la numitor”. La graniță , seria prin care este definită funcția hipergeometrică converge absolut dacă partea reală a sumei converge condiționat la , și diverge dacă . A doua soluție liniar independentă a ecuației diferențiale lui Euler are forma $_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ $|z|=1$ $a+bc<0$ $z\neq 1$ $0\leq a+bc<1$ $a+bc\geq 1$

\ z^{{1-c}}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)

Are un punct singular la și este valabil pentru toate nonpozitive . [3] $z=0$ $c$ $(c=0,-1,-2,\ldots)$

Reprezentarea integrală pentru funcția hipergeometrică la (formula lui Euler) poate fi scrisă după cum urmează: ${\text{Re}}(c)>{\text{Re}}(b)>0$

F(a,b;c;z)={\Gamma (c) \over \Gamma (b)\Gamma (cb)}\int \limits _{{0}}^{{1}}t^{{ b-1}}(1-t)^{{cb-1}}(1-tz)^{{-a}}\,dt,

unde este funcția gamma Euler . Această expresie este o funcție analitică cu o singură valoare pe planul complex cu o tăietură de-a lungul axei reale de la până la și oferă o continuare analitică la întregul plan complex pentru seria hipergeometrică convergentă numai la . $\gamma (x)$ $z$ $unu$ $\infty$ $\left|z\right|<1$

Valori private la $z=1/2$

A doua teoremă Gauss de însumare este exprimată prin formula:

_{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac 12}\left(1+a+b\right);{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\ tfrac 12})\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac 12}\stanga(1+b\dreapta)))}}.

Teorema lui Bailey este exprimată prin formula:

_{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12}c)\Gamma ({\tfrac 12} \left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+ca\right)))) .

Scrierea altor funcții în termeni de hipergeometrie

O proprietate importantă a funcției hipergeometrice este că din aceasta pot fi obținute multe funcții speciale și elementare cu anumite valori ale parametrilor și transformarea argumentului independent.

Exemple

$\left(1+x\right)^{n}=F(-n,b;b;-x)$
$x^{n}=F\stanga(-n,b;b;1-x\dreapta)$
${1 \peste x}\ln(1+x)=F(1,1;2;-x)$

{1 \over x}\arcsin(x)=F\left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));x ^{2}\dreapta)

$e^{x}=\lim _{{n\to \infty }}F\left(1,n;1;{x \over n}\right)$
$\cos x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2));-{\frac {x^{2}} {4ab}}\dreapta)$
$\cosh x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\ dreapta)$
Integrală eliptică completă de primul fel: $K(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\frac {d\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{ 2}\varphi ))))={\frac {\pi }{2))F\left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^ {2}\dreapta)$
Integrală eliptică completă de al doilea fel: $E(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d \varphi ={\frac {\pi }{2}}F\left(-{\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^{2}\right )$
Polinomul Legendre : $P_{n}(x)=F(n+1,-n;1;{\frac {1-x}{2)))$
Funcția Legendre asociată : $P_{{n,\;m}}(x)=(1-x^{2})^{({\frac {m}{2}}}}{\Gamma (n+m+1) \over 2^{m}\Gamma (n-m+1)\Gamma (m+1)}F\left(n+m+1,mn;m+1;{\frac {1-x}{2)) \dreapta)$
Functii Bessel : $J_{\nu }(x)=\lim _{a,\;b\to \infty }\left[{\frac {\left({\dfrac {x}{2}}\right)^ {\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}F\left(a,b;\nu +1;-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)\right]$
Funcția Kummer (Pochhammer) sau funcție hipergeometrică degenerată $M(a,c,z)={}_{1}F_{1}(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }F(a,b;c;z/ b)$ este o soluție a ecuației hipergeometrice degenerate $z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(cz){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$
O funcție hipergeometrică degenerată cu un prim argument întreg nepozitiv este un polinom Laguerre generalizat : $L_{n}^{\lambda}(x)={}_{1}F_{1}(-n,\lambda,x).$

Identități

$27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4} };{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1 }{4)),{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}} \left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4));{\tfrac {2}{3));z\right)^{2}=1$
Și un caz special minunat al expresiei anterioare: $_{2}F_{1}\left({\frac {1}{4)),{\frac {3}{4));\,{\frac {2}{3));\ ,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt ({\sqrt ({\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{ 4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}$

Note

↑ Scott, 1981 , p. 16.
↑ Vinogradov, 1977 , p. 1004.
↑ Bateman, Erdeyi, Vol. 1, 1973 , p. 69-70.

Literatură

Enciclopedie matematică / Ed. I. M. Vinogradova. - M. , 1977. - T. 1.
Bateman G., Erdeyi A. Higher Transcendental Functions = Higher Transcendental Functions / Per. N. Ya. Vilenkina. - Ed. al 2-lea,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 p. - 14.000 de exemplare.
Kuznetsov D. S.: Funcții speciale - M .: „Școala superioară”, 1962
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). — Ediția a IV-a. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul III). - ISBN 5-02-014421-5 . - adaosuri matematice
Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Teoria funcţiilor hipergeometrice / Transl. de Kenji Iohara. - Springer, 2011. - Vol. 305. - 317 p. — (Seria Monografii Springer în matematică). — ISBN 9784431539124 .
Scott JF Lucrarea matematică a lui John Wallis, DD, FRS, (1616-1703). - American Mathematical Soc., 1981. - 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146 .

Dicționare și enciclopedii	Marele Soviet (1 ed.) Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NKC : ph161655