Ecuația diferențială Riemann

Ecuația diferențială Riemann este o generalizare a ecuației hipergeometrice care vă permite să obțineți puncte singulare regulateoriunde pe sfera Riemann . Numit după matematicianul Bernhard Riemann .

Definiție

Ecuația diferențială Riemann este definită ca

{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{za}}+{\frac {1-\beta - \beta '}{zb}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{zc}}\right]{\frac {dw}{dz}}

+\left[{\frac {\alpha \alpha '(ab)(ac)}{za))+{\frac {\beta \beta '(bc)(ba)}{zb))+{\frac { \gamma \gamma '(ca)(cb)}{zc}}\right]{\frac {w}{(za)(zb)(zc)}}=0.

Punctele sale singulare regulate vor fi a , b și c . Gradele lor sunt și , și , și respectiv. Ele satisfac condiția $\alfa$ $\alpha '$ $\beta$ $\beta '$ $\gamma$ $\gamma '$

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.

Soluții ale ecuației

Soluțiile ecuației Riemann sunt scrise în termenii simbolului P Riemann

w=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\ dreapta\}

Funcția hipergeometrică obișnuită poate fi scrisă ca

\;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-ab&\;\ sfârșit{matrice}}\right\}

Funcțiile P se supun unui număr de identități, dintre care una le permite să fie generalizate în termeni de funcții hipergeometrice. Și anume expresia

P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\ }=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }P\left\{{ \begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\\\alpha ' -\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrice}}\right\}

ne permite să scriem soluția ecuației sub forma

w=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }\;_{2} F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(za)(cb)}{(zb) (ca)}}\dreapta)

Transformarea Möbius

Funcția P are o simetrie simplă față de transformata Möbius , adică față de grupul GL(2, C ) sau, echivalent, cu maparea conformă a sferei Riemann . Alese în mod arbitrar patru numere complexe A , B , C şi D , îndeplinind condiţia , determină relaţiile $AD-BC\neq 0$

u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ și }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}

și

\zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ și }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.

Apoi egalitatea

P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\ }=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\ ;\end{matrice}}\right\}

Literatură

Milton Abramowitz și Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formule, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972)
- Capitolul 15 Funcții hipergeometrice
  - Secțiunea 15.6 Ecuația diferențială a lui Riemann