Factoriale descrescătoare și crescătoare

Factorial descrescător [1] (numit uneori factorial inferior , descrescător treptat sau descendent [2] [3] ) se scrie folosind simbolul Pochhammer și este definit ca

(x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k= 1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).

Factorialul crescător (uneori denumirile funcție Pochhammer , polinom Pochhammer [4] , superior , factorial crescător treptat sau crescător [2] [3] ) sunt definite ca

x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1 }^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).

Valoarea ambilor factoriali este luată egală cu 1 ( produsul gol ) pentru n = 0.

Simbolul Pochhammer , propus de Leo August Pochhammer , este notația pentru , unde este un întreg nenegativ . În funcție de context, simbolul Pochhammer poate reprezenta factorialul descrescător sau factorialul crescător, așa cum este definit mai sus. Trebuie avut grijă atunci când interpretați simbolul dintr-un anumit articol. Pochhammer însuși a folosit o notație cu un cu totul alt sens, și anume pentru a desemna coeficientul binom [5] . $(x)_{n}$ $n$ $(x)_{n}$ ${\binom {x}{n)}$

În acest articol, un simbol este folosit pentru a reprezenta un factorial descrescător, iar un simbol este folosit pentru a reprezenta un factorial crescător. Aceste convenții sunt acceptate în combinatorică [6] . În teoria funcțiilor speciale (în special funcția hipergeometrică ), simbolul Pochhammer este folosit pentru a reprezenta factorialul crescător [7] O listă utilă de formule pentru manipularea factorilor crescători în această ultimă notație este dată în cartea lui Lucy Slater [8] . Knuth a folosit termenul de puteri factoriale care includ factorii crescători și descrescători [9] $(x)_{n}$ $x^{(n))$ $(x)_{n}$

Dacă x este un număr întreg nenegativ, atunci dă numărul de n -permutări ale mulțimii de elemente x sau, echivalent, numărul de injecții dintr-o mulțime cu n elemente într-o mulțime de dimensiunea x . Cu toate acestea, alte notații sunt utilizate pentru aceste valori, cum ar fi P ( x ,n ). Simbolul Pochhammer este folosit mai ales în scopuri algebrice, de exemplu atunci când x este o cantitate necunoscută, caz în care înseamnă un anumit polinom în x de grad n . $(x)_{n}$ $_{x}P_{n}$ $(x)_{n}$

Exemple

Primii factori crescatori:

x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1

x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x

x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x

x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x

x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+ 11x^{2}+6x

Primii factori descrescători:

(x)_{0}=x^{\underline {0}}=1

(x)_{1}=x^{\underline {1}}=x

(x)_{2}=x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x

(x)_{3}=x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x

(x)_{4}=x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+ 11x^{2}-6x

Coeficienții obținuți prin deschiderea parantezelor sunt numere Stirling de primul fel .

Proprietăți

Factorialii crescători și descrescători pot fi utilizați pentru a exprima coeficienții binomi :

{\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \alegeți n}

și

{\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \alege n}.

Apoi, multe identități pentru coeficienții binomii se transferă la factorii crescători și descrescători.

Un factorial crescător poate fi exprimat în termeni de un factorial descrescător începând de la celălalt capăt,

x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},

sau ca factor descrescător cu argumentul opus,

x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.

Factorialii crescători și descrescători sunt bine definiți în orice inel unitar și, prin urmare, x poate fi, de exemplu, un număr complex , un număr negativ, un polinom cu coeficienți complexi sau orice funcție complexă .

Factorialul crescător poate fi extins la valori reale ale lui n folosind funcția gamma :

x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)))),

și în același mod factorial descrescător:

(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1))).

Dacă notăm cu D luând derivata lui x , obținem

D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{an}.

Simbolul Pochhammer este o parte integrantă a definiției funcției hipergeometrice - funcția hipergeometrică este definită pentru | z | < 1 serie de putere

\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n) } \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}

cu condiția ca c să nu fie egal cu 0, −1, −2, ... . Rețineți, totuși, că în literatura de specialitate despre funcția hipergeometrică, factorialul crescător este notat cu . ${(a)}_{n}$

Conexiune cu calculul umbrelor

Factorialul descrescător apare într-o formulă care reprezintă polinoame folosind operatorul diferențelor finite și care este formal similar cu teorema lui Taylor . În această formulă și în multe alte locuri, factorialul descrescător în calcularea diferențelor finite joacă un rol în calcularea derivatei. Observați, de exemplu, asemănarea $\vartriangle$ $(x)_{k)$ $x^{k}$

\Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},

Dx^{k}=k\x^{k-1},

Fapte similare sunt valabile pentru factorii crescători.

Studiul analogiilor de acest tip este cunoscut sub numele de „ calcul umbră ” [10] . Teoria principală care descrie astfel de relații, inclusiv funcțiile descrescătoare și crescătoare, este considerată în teoria secvențelor polinomiale de tip binom și a secvențelor Schaeffer . Factorialii crescători și descrescători sunt secvențe Schaeffer de tip binomial, după cum arată următoarele relații:

(a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \alegeți j}(a)^{(nj)}(b)^{(j) }

(a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \alegeți j}(a)_{nj}(b)_{j}

unde coeficienții sunt aceiași ca în extinderea seriei de puteri a identității binomului Vandermonde ).

În mod similar, funcția generatoare a polinoamelor Pochhammer este atunci egală cu suma exponenților umbrei,

\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!)}}=(1+t)^{x} ~ ,

din moment ce . $\vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x}$

Coeficienți de cuplare și identități

Factorialii descrescători și crescători sunt legați unul de celălalt folosind numere Lach și folosind sume de puteri întregi ale unei variabile folosind numere Stirling de al doilea fel , după cum urmează (aici ): [11] $X$ ${\binom {r}{k}}=r^{\subline {k}}/k!$

{\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac { n!}{k!}}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}= {\frac {1}{(x+1)^{\overline {-n))))\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom { n}{k}}(n-1)^{\underline {nk}}\times x^{\underline {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\subline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}={\frac {1}{(x-1)^{\subline {-n}}}}\\&={\ binom {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\nk\end{matrix}}\right\}x^{\underline {nk}}\\&=\sum _ {k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{nk}(x)_{k}.\ sfârşit{aliniat}}

Deoarece factorii descrescători sunt baza unui inel polinomial , putem exprima produsul a doi dintre ei ca o combinație liniară de factori descrescători:

(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \alegeți k}{n \alegeți k}k!\,(x)_ {m+nk}.

Coeficienții la se numesc coeficienți de cuplare și au o interpretare combinatorie ca număr de moduri de a lipi k elemente dintr-un set de m elemente și un set de n elemente. Avem și o formulă de conexiune pentru raportul dintre două simboluri Pochhammer $(x)_{m+nk)$

{\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}=(x+i)_{ni},\n\geq i.

În plus, putem extinde regula puterii generalizate și puterile negative crescătoare și descrescătoare cu următoarele identități:

{\begin{aligned}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}& =(x)_{m}(xm)_{n}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(xn)_{n))}={\frac {1} {(x-1)^{\subline {n}}}}\\x^{\subline {-n}}&={\frac {1}{(x+1)_{n}}}={ \frac {1}{n!{\binom {x+n}{n))))={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n))). \end{aliniat}}

În cele din urmă, formula de dublare și formula de înmulțire pentru factorii crescători dau următoarele relații:

(x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+ k }{m}}\right)_{n},\m\in \mathbb {N}

(ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x}}\right )_{n/x},\ x\in \mathbb {Z} ^{+}

(2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.

Denumiri alternative

Notație alternativă pentru creșterea factorială

x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {factori} }

pentru întreg

m\geq 0,

Și pentru factorial descrescător

x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {factori} }

pentru întreg

m\geq 0;

se întoarce la A. Capelli (1893) și respectiv L. Toscano (1939) [12] . Graham, Knuth și Patashnik [13] au propus să pronunțe această expresie ca „creștere x cu m ” și, respectiv, „scădere x cu m ”.

Alte notații pentru factorul descrescător includ sau . (Consultați articolele „ Permutare ” și „ Combinație ”). $P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n)$ $_{x}P_{n}$

O notație alternativă pentru creșterea factorială este utilizată mai rar. Pentru a evita confuzia, atunci când se folosește notația pentru factorial crescător, notația pentru factorialul obișnuit descrescător este [5] . ${\displaystyle (x)_{n}^{+))$ $x^{(n))$ ${\displaystyle (x)_{n}^{+))$ $(x)_{n}^{-)$

Generalizări

Simbolul Pochhammer are o versiune generalizată numită simbolul Pochhammer generalizat și este folosit în analiza multivariată . Există, de asemenea, un analog q , simbolul q Pochhammer .

O generalizare a factorial descrescător, în care funcția este evaluată pe o progresie aritmetică descrescătoare:

[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(xh)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),

Generalizarea corespunzătoare a factorialului crescător

[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).

Această notație combină factorii crescător și descrescător, care sunt egali cu și respectiv. $[x]^{\tfrac {k}{1))$ $[x]^{\tfrac {k}{-1)}$

Pentru orice funcție aritmetică fixă și parametri simbolici , produsele generalizate asociate formei $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ $x,t$

(x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}}{t^{k)} }\dreapta)

poate fi studiat în termeni de clase de numere Stirling generalizate de primul fel , definite folosind următorii coeficienți at în expansiune și apoi folosind următoarea relație de recurență: $X$ $(x)_{n,f,t)$

{\begin{aliniat}\left[{\begin{matrice}n\\k\end{matrice}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x )_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right] _{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aliniat}}

Acești coeficienți satisfac numeroase proprietăți similare cu cele ale numerelor Stirling de primul fel , precum și relații de recurență și egalități funcționale asociate numerelor f-armonice [14] . $F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r)$

Vezi și

k - simbolul Pochhammer
identitatea Vandermonde

Note

↑ Koganov, 2007 .
↑ 1 2 Lando, 2008 .
↑ 1 2 Traub, 1985 , p. 106.
↑ Steffensen, 1950 , p. opt.
↑ 1 2 Knuth, 1992 , p. 403–422.
↑ Olver, 1999 , p. 101.
↑ Așa, de exemplu, în cartea „Handbook of Mathematical Functions” de Abramovici și Stegun, p. 256
↑ Slater, 1966 , p. anexa I.
↑ Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, ed. a 3-a, p. cincizeci.
↑ Multă vreme, prezența a numeroase proprietăți comune în secvențele binomiale a fost percepută ca ceva misterios și inexplicabil, motiv pentru care studiul lor a fost numit calcul umbral, i.e. calculul umbrelor ( Lando 2008 ).
↑ Introducere în factoriali și binoame . Site-ul Wolfram Functions . (nedefinit)
↑ Potrivit lui Knuth, Arta programării computerelor, Vol. 1, ed. a 3-a, p. cincizeci.
↑ Graham, Knuth, Patashnik, 1988 , p. 47-48.
↑ Identități combinatorii pentru numerele Stirling generalizate care extind funcțiile f-factoriale și numerele f-armonice (2016).

Literatură

Koganov L.M. Două sarcini // Informatică. - 2007. - Emisiune. 10 .

Lando S.K. Shadow Calculus // Școala de vară „Matematică modernă”. - 2008. - Emisiune. 2 lectie . Arhivat din original pe 15 decembrie 2017.
Traub J. Metode iterative de rezolvare a ecuaţiilor. - M. : „Mir”, 1985.
Interpolare Steffensen JF . — al 2-lea. - Dover Publications, 1950. - P. 8. - ISBN 0-486-45009-0 .
Donald E. Knuth. Două note despre notație // American Mathematical Monthly

volum=99. - 1992. - Emisiune. 5 . — S. 403–422 . - doi : 10.2307/2325085 . - arXiv : math/9205211 . — .. O notă despre simbolurile Pochhammer este la pagina 414. Donald E. Knuth. Arta programarii pe computer. - Ed. a III-a .. - 1997. - T. 1. - S. 50. - ISBN 0-201-89683-4 .

- Donald E. Knuth. 1.2.5 Permutări și factoriali // Arta programării. - A treia editie. - Williams, 2002. - V. 1 Algoritmi de bază. - ISBN 978-5-8459-1984-7 , 978-5-8459-0080-7.
Ronald L. Graham , Donald Knuth , Oren Patashnik . Matematică concretă . - Addison-Wesley, Reading MA, 1988. - ISBN 0-201-14236-8 .
Peter J Olver. Teoria clasică invariantă. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 0-521-55821-2 .
Lucy J. Slater. Funcții hipergeometrice generalizate . — Cambridge University Press, 1966.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Pochhammer Simbol (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Dovezi elementare