Ipoteza Birch-Swinnerton-Dyer

Ipoteza Birch-Swinnerton-Dyer este o ipoteză matematică despre proprietățile curbelor eliptice , una dintre problemele mileniului , pentru soluția căreia Institutul Clay a oferit un premiu de 1 milion de dolari .

În căutarea unui răspuns la întrebarea în ce condiții ecuațiile diofante sub formă de ecuații algebrice au soluții în numere întregi și numere raționale [1] , Brian Birch și Peter Swinnerton-Dyer au sugerat la începutul anilor 1960 că rangul unei curbe eliptice peste un câmp este egal cu ordinul zero funcții zeta Hasse-Weyl în punctul . Mai precis, conjectura afirmă că există o limită diferită de zero în care valoarea depinde de invarianții aritmetici fini ai curbelor. Pe baza datelor experimentelor numerice, sa presupus [2] că asimptoticele sunt adevărate $r$ $E$ $K$ $L(E,s)$ $s=1$ $B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {L(E,s)}{(s-1)^{r)))$ $B_{E}$

\prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\aprox C\log(x)^{r}{\mbox{ la }}x\rightarrow \infty

unde este numărul de puncte întregi de pe curba cu rang modulo , este o constantă. $N_p$ $E$ $r$ $p$ $C$

Conjectura este singura modalitate generală relativ simplă de a calcula rangul curbelor eliptice .

Cele mai importante rezultate

În 1977, John Coates și Andrew Wiles au demonstrat afirmația, care este adevărată pentru o clasă mare de curbe eliptice, că dacă curba conține infinit de puncte raționale, atunci . $E$ $L(E,1)=0$

În 1986, Benedict Gross și Don Zagier au arătat că, dacă o curbă eliptică modulară are un zero de ordinul întâi la , atunci are un punct rațional de ordin infinit ( teorema Gross–Zagier ); $s=1$

În 1989, Viktor Kolyvagin a arătat că o curbă eliptică modulară pentru care nu este egală cu zero are rangul 0, iar o curbă eliptică modulară pentru care are un zero de ordinul întâi la s = 1 are rangul 1. $E$ $L(E,1)$ $E$ $L(E,1)$

În 1991, Karl Rubin a arătat că pentru curbele eliptice definite pe un câmp pătratic imaginar cu înmulțire complexă cu , dacă seria - a curbei eliptice este diferită de zero la s = 1, atunci partea p a grupului Tate-Shafarevich avea valoarea prezisă. ordine după conjectura Birch și Swinnerton-Dyer pentru toate numerele prime . $K$ $K$ $L$ $p>7$

În 1999 , Christoph Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond și Richard Taylor au demonstrat teorema de modularitate (că toate curbele eliptice definite peste numere raționale sunt modulare), aceasta extinde rezultatele #2 și #3 la toate curbele eliptice ale numerelor raționale și arată că -funcțiile tuturor curbelor eliptice peste sunt definite pentru s = 1. $L$ $Q$

În 2015, Arul Shankar și Manjul Bhargava au demonstrat că rangul mediu al grupului Mordell–Weil pentru o curbă eliptică peste este delimitat deasupra de 7/6. $Q$

Literatură

Koblitz N. Introducere în curbele eliptice și forme modulare / editat de Yu. I. Manin . — M .: Mir , 1988.
Irlanda K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne. — M .: Mir , 1987.
Ian Stewart . Cele mai mari probleme de matematică. — M. : Alpina non-fiction, 2015. — 460 p. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Birch, Brian ; Swinnerton-Dyer, Peter (1965). „Note despre curbele eliptice (II)”. J. Reine Angew. Matematică. 165 (218): 79-108. DOI : 10.1515/crll.1965.218.79 .