Ipoteza (matematica)

O ipoteză în matematică  este o afirmație care, pe baza informațiilor disponibile, pare a fi adevărată cu o mare probabilitate , dar pentru care nu se poate obține o demonstrație matematică [1] [2] . O ipoteză matematică este o problemă matematică deschisă și fiecare problemă matematică nerezolvată care este o problemă de rezolvare poate fi enunțată sub forma unei ipoteze. Cu toate acestea, nu orice problemă matematică poate fi formulată ca o ipoteză. De exemplu, este imposibil să se prezică o soluție specifică a unui anumit sistem de ecuații sau o problemă de optimizare pentru 2208 necunoscute, dar o astfel de soluție poate fi nu doar un rezultat practic, ci și un rezultat matematic propriu -zis [3] .

Ipoteza Riemann , Ultima Teoremă a lui Fermat , Ipoteza lui Waring și alte câteva ipoteze matematice au jucat un rol semnificativ în matematică, deoarece încercările de a le demonstra au condus la crearea de noi domenii și metode de cercetare.

Ipoteza matematică și științe naturale

Spre deosebire de o ipoteză a științelor naturii , o ipoteză matematică poate fi demonstrată logic într-un sistem de axiome , după care devine o teoremă, adevărată sub aceste restricții, „pentru tot timpul”. Un exemplu tipic este moștenirea științifică a lui Newton , care a declarat că „nu inventează ipoteze” și care în fizică s-a străduit să nu depășească cadrul unui model matematic . Teoremele matematice ale lui Newton, ca și vechea teoremă lui Pitagora , rămân în vigoare până în prezent, cu toate acestea, mecanica sa clasică și teoria gravitației după apariția relativității speciale și generale au devenit ipoteze fizice infirmate. Dacă o ipoteză matematică determinabilă poate fi fie dovedită, fie infirmată, atunci pentru o ipoteză de științe naturale, din cauza relativității cunoașterii științelor naturale, proprietățile verificabilității și falsificabilității nu se exclud reciproc [4] . Mecanica newtoniană este inaplicabilă pentru viteze apropiate de viteza luminii, dar descrie mișcarea majorității corpurilor din sistemul solar cu o precizie foarte mare. Prin urmare, în fizică, de obicei nu se vorbește despre infirmarea ipotezelor, ci despre limitarea sferei de aplicare a teoriei.

Rezolvarea ipotezelor matematice

Dovada

Matematica se bazează pe dovezi formale. Oricât de convingătoare ar părea ipoteza, indiferent câte exemple sunt date pentru a o susține, ipoteza poate fi infirmată printr-un singur contraexemplu. Revistele moderne de matematică publică uneori rezultatele cercetărilor despre intervalul în care este testată validitatea ipotezei. De exemplu, conjectura Collatz a fost testată pentru toate numerele întregi de până la 1,2 × 10 12 , dar acest fapt în sine nu oferă nimic care să demonstreze conjectura.

Pentru a demonstra o ipoteză, trebuie prezentată o demonstrație matematică care, printr- un raționament logic fără cusur bazat pe un anumit sistem de axiome, face ca enunțul ipotezei să fie singurul posibil sau afirmația opusă este imposibilă din punct de vedere logic.

Când o ipoteză este dovedită, atunci în matematică devine o teoremă . Infirmarea unei ipoteze explicite sau implicite poate deveni, de asemenea, o teoremă. În istoria matematicii , unele ipoteze au existat într-o formă implicită pentru o lungă perioadă de timp , iar numeroase încercări de a găsi la pătrat a unui cerc sau o soluție la o ecuație algebrică de gradul cinci în radicali au pornit din ipoteze ulterior respinse că acest lucru este posibil. .

Infirmare

Infirmarea unei ipoteze se realizează și cu ajutorul dovezii, dar ținând cont de formulările tipice ale ipotezelor, respingerea este adesea cel mai simplu tip de demonstrație - un contraexemplu. O astfel de demonstrație este cea mai simplă din punct de vedere logic, cu toate acestea, construirea unui exemplu în teoria grafurilor sau găsirea unui exemplu în teoria numerelor ( conjectura lui Euler ) poate fi foarte dificilă. După infirmare, ipoteza poate deveni un fapt al istoriei matematicii, sau poate fi transformată într-o nouă ipoteză matematică. De exemplu, ipoteza Euler, după ce a fost infirmată, a fost transformată în ipoteza Lander-Parkin-Selfridge . În acest caz, procesul este similar cu evoluția ipotezelor științelor naturale.

Ipoteze indecidabile

Nu pentru orice ipoteză este posibil să-i demonstrăm adevărul sau falsitatea într-un anumit sistem de axiome. Conform teoremei de incompletitudine a lui Gödel , în orice teorie axiomatică suficient de complexă, cum ar fi aritmetica , există afirmații care nu pot fi nici infirmate, nici dovedite în cadrul teoriei în sine. Prin urmare, orice teorie matematică care conține aritmetică conține ipoteze care nu sunt infirmate și nedemonstrabile în cadrul ei.

De exemplu, s-a demonstrat că ipoteza continuumului lui Cantor în teoria mulțimilor nu depinde de sistemul general acceptat de axiome Zermelo-Fraenkel . Prin urmare, se poate accepta această afirmație sau negația ei ca axiomă fără a ajunge la o contradicție cu restul axiomelor și fără consecințe pentru teoremele demonstrate anterior. În geometrie , din cele mai vechi timpuri, matematicienii au fost îndoieli cu privire la axioma paralelismului a lui Euclid . Astăzi se știe că dacă acceptăm axioma opusă, atunci este posibil să construim o geometrie Lobachevsky consistentă , inclusiv geometria absolută , adică cu păstrarea tuturor celorlalte axiome.

Dovezi condiționate

Din validitatea unor ipoteze nedemonstrate rezultă consecințe importante. Dacă există o credință larg răspândită că o ipoteză este adevărată, atunci matematicienii demonstrează uneori teoreme care sunt adevărate numai dacă ipoteza este adevărată, în speranța că ipoteza va fi dovedită. Demonstrații similare sunt comune, de exemplu, în legătură cu ipoteza Riemann.

Câteva exemple notabile

Iata care sunt afirmatiile care au avut o mare influenta asupra matematicii, fiind in statut de ipoteze. Unele dintre ele rămân ipoteze până în prezent, altele au fost dovedite sau infirmate.

Ultima teoremă a lui Fermat

În teoria numerelor, Ultima Teoremă a lui Fermat afirmă că nici trei numere naturale nu sunt egale dacă întregul este mai mare decât 2.

Pierre de Fermat a scris această presupunere în 1637 în marginea Aritmeticii lui Diophantus , împreună cu afirmația că avea o dovadă, dar era prea mare pentru a se încadra în acea marjă. [5] Prima dovadă de succes a fost obținută de John Wiles în 1994 și publicată în 1995, după 358 de ani de efort de către mulți matematicieni. Încercările de a rezolva această problemă în secolul al XIX-lea au condus la dezvoltarea teoriei algebrice a numerelor și la demonstrarea teoremei de modularitate în secolul al XX-lea.

Conjectura lui Poincaré

Conjectura Poincaré afirmă că orice 3 - varietate compactă pur și simplu conectată fără graniță este homeomorfă unei 3 - sfere . Henri Poincare a formulat această ipoteză în 1904. După aproape un secol de eforturi ale matematicienilor, Grigory Perelman a demonstrat această presupunere în trei lucrări postate în 2002 și 2003 pe site-ul arXiv . Dovada a urmat sugestia lui Richard Hamilton de a utiliza fluxul Ricci pentru soluție . [6] Mai multe echipe de matematicieni au testat dovada lui Perelman și au confirmat că este corectă. Interesant este că pentru sferele de dimensiuni mai mari, dovezile au fost obținute mai devreme.

Ipoteza Riemann

Ipoteza Riemann , propusă în 1859, afirmă că toate rădăcinile netriviale ale funcției zeta Riemann au o parte reală egală cu 1/2. Din validitatea ipotezei Riemann rezultă o serie de rezultate privind distribuția primelor . Unii matematicieni consideră această presupunere cea mai importantă problemă nerezolvată din „matematica pură” . Ipoteza Riemann se află pe listele problemelor Hilbert și ale mileniului .

Egalitatea claselor P și NP

Problema egalității claselor P și NP este inclusă în lista sarcinilor mileniului și este una dintre principalele probleme ale informaticii . Informal, dar destul de precis, întrebarea se rezumă la dacă orice problemă a cărei soluție poate fi verificată în timp polinomial poate fi rezolvată și în timp polinomial folosind memoria polinomială. Opinia predominantă astăzi este că nu este cazul. Dar dacă demonstrarea adevărului acestei ipoteze poate fi constructivă (este necesar să se prezinte un singur algoritm, pe care mulți oameni încearcă să-l facă), atunci nu este clar cum să se demonstreze contrariul. Problema a fost probabil menționată pentru prima dată în 1956 într-o scrisoare a lui Kurt Gödel către John Neumann . [7] Problema a fost enunțată cu precizie în 1971 de Stephen Cook [8] și este considerată de mulți ca fiind cea mai importantă problemă deschisă în domeniu [9] .

Istorie

Matematicienii greci antici au folosit adesea un experiment de gândire ca metodă de demonstrare matematică, care includea formularea de ipoteze și derivarea consecințelor din acestea folosind deducerea consecințelor pentru a verifica corectitudinea presupunerilor inițiale. Astăzi, un astfel de raționament este numit metoda demonstrației prin contradicție . Platon considera ipotezele drept premise ale metodei analitico-sintetice de demonstrare dezvoltate de el, capabile să ofere un caracter absolut adevărat al concluziei. Totuși, ipoteza ca metodă de cercetare a fost respinsă de Aristotel , care a considerat doar adevărurile generale, necesare și absolute ca premise ale unei dovezi silogistice. Acest lucru a condus la atitudinea negativă ulterioară a oamenilor de știință față de ipoteze ca formă de cunoaștere nesigură sau probabilă [4] . Abia în secolul al XIX-lea a fost posibilă depășirea opoziției ipotezelor și cunoștințelor absolut exacte și, ca urmare, a unei atitudini disprețuitoare față de ipoteze. În special, Engels , considerând o ipoteză ca o formă de „dezvoltare a științei naturii” [10] , a prezentat o poziție asupra relației ipotezelor cu legile și teoriile ca forme diferite de cunoaștere adevărată.

Note

  1. ↑ Oxford Dictionary of English  (neopr.) . — 2010.
  2. ↑ JL Schwartz. Schimbarea între particular și general: reflecții asupra rolului presupunerii și ipotezelor în generarea cunoștințelor în știință și  matematică . - 1995. - P. 93.
  3. ↑ Algoritmul biliniar aproximativ cu lungimea 46 pentru înmulțirea matricelor 4×4  (link în jos)
  4. ↑ 1 2 Hypothesis Arhivat 5 martie 2016 la Wayback Machine // New Philosophical Encyclopedia
  5. ↑ Ore, Oystein (1988), Teoria numerelor și istoria sa , Dover, p. 203–204, ISBN 978-0-486-65620-5 
  6. ^ Hamilton, Richard S. Patru-variete cu curbură izotropă pozitivă  (nedefinită)  // Communications in Analysis and Geometry. - 1997. - V. 5 , nr 1 . - S. 1-92 .
  7. ↑ Juris Hartmanis 1989, Godel, von Neumann, and the P = NP problem Arhivat la 26 februarie 2015 la Wayback Machine , Buletinul Asociației Europene pentru Informatică Teoretică, vol. 38, pp. 101-107
  8. ↑ Cook, Stephen Complexitatea procedurilor de demonstrare a teoremei // Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing  (engleză) . - 1971. - P. 151-158.
  9. ↑ Lance Fortnow, The status of the P versus NP problem Arhivat din original pe 24 februarie 2011. , Comunicările ACM 52 (2009), nr. 9, pp. 78-86. doi : 10.1145/1562164.1562186
  10. ↑ K. Marx și F. Engels Soch., vol. 20, p. 555