Ipoteza Lander-Parkin-Selfridge

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 octombrie 2020; verificările necesită 4 modificări .

Conjectura Lander-Parkin-Selfridge în teoria numerelor este o presupunere despre condițiile de existență a soluțiilor în numere naturale de ecuații pentru sume de puteri egale ale necunoscutelor. Aceste ecuații sunt o generalizare a ecuațiilor ultimei teoreme a lui Fermat .

Fundal

Soluțiile întregi ale ecuațiilor diofantine , cum ar fi soluțiile întregi ale unei ecuații legate de teorema lui Pitagora , au fost studiate de multe secole. Ultima teoremă a lui Fermat afirmă că pentru puteri întregi , ecuația nu are soluție în numere naturale . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $k>2$ $a^{k}+b^{k}=c^{k}$ $a,b,c$

În 1769, Leonhard Euler , după ce a crescut numărul de termeni din ecuație, a formulat o ipoteză , care într-o formă generalizată se rezumă la faptul că ecuația

\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k)

nu are soluție în numere naturale dacă , cu excepția cazului banal când rădăcinile din partea stângă a ecuației sunt o permutare a rădăcinilor din partea dreaptă a ecuației. Astfel de ecuații pot fi notate prin triple de numere [1] . $k\geq m+n$ $(k,m,n)$

În 1966, Leon J. Lander și Thomas R. Parkin au găsit un contraexemplu pentru conjectura lui Euler [2] : $k = 5$

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

Primul contraexemplu a fost găsit de Noam Elkis în 1988 . [3] Cea mai mică soluție găsită în același an ( Roger Frye, 1988 ) este: $k=4$

414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},

Cu toate acestea, pentru conjectura lui Euler rămâne deschisă. $k=6$

Ipoteza

În 1967, Lander, Parkin și Selfridge au propus 4] ecuația

\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k)

poate avea o soluție netrivială în numere naturale numai dacă . $k\leq m+n$

Ultima Teoremă a lui Fermat implică validitatea ipotezei pentru caz și absența soluțiilor pentru . $(k,2,1),k>3$ $(3,2,1)$

Găsirea de soluții la ecuații pentru unele puteri se dovedește a fi o sarcină dificilă nu numai pentru , ci și pentru . Proiecte de calcul distribuit EulerNet [5] și yoyo@home caută soluții pentru diverse proiecte . $(k,m,n)$ $k=m+n$ $k<m+n$ $(k,m,n)$

Soluții cunoscute pentru ( k , m , n ), k = m + n

Din 2006, sunt cunoscute următoarele soluții pentru ( k , m , n ) cu k = m + n : [6]

(4, 2, 2)

158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}

, există infinit de soluții.

(4, 1, 3)

{\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4))

, există infinit de soluții.

(5, 1, 4)

144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}

, se cunosc 2 solutii.

(5, 2, 3)

14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}

, 1 soluție este cunoscută.

(6, 3, 3)

{\displaystyle 23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6))

, există infinit de soluții.

(8, 3, 5)

966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}

, 1 soluție este cunoscută.

(8, 4, 4)

3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}

, 1 soluție este cunoscută.

Câteva soluții pentru ( k , k , 1)

k = 3

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

k = 4

{\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4))

( R. Norrie, 1911 ) [4]

k = 5

19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}

( Lander, Parkin, Selfridge, cel mai mic, 1967 ) [4]

k = 6

Soluții necunoscute.

k = 7

127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}

( M. Dodrill, 1999 )

k = 8

90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8} =1409^{8}

( Scott Chase 2000 )

k ≥ 9

Soluții necunoscute.

Note

↑ Euler însuși a considerat doar cazul ( k , m , 1).
↑ LJ Lander, T. R. Parkin. Contraexemplu la conjectura lui Euler asupra sumelor puterilor asemănătoare // Bull . amer. Matematică. soc. : jurnal. - 1966. - Vol. 72 . - P. 1079 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .
↑ Noam Elkies. Pe A 4 + B 4 + C 4 = D 4 (Rom.) // Matematica calculului. - 1988. - T. 51 , nr. 184 . - P. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
↑ 1 2 3 L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; parkin; selfridge. A Survey of Equal Sums of Like Powers // Matematica calculului : jurnal. - 1967. - Vol. 21 , nr. 99 . - P. 446-459 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . — .
↑ EulerNet . Preluat la 16 august 2015. Arhivat din original la 9 decembrie 2013. (nedefinit)
↑ Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

Literatură

Richard K Guy . Probleme nerezolvate în teoria numerelor (nedefinite) . — al 3-lea. - New York, NY: Springer-Verlag , 2004. - P. D1. — (Cărți cu probleme în matematică). — ISBN 0-387-20860-7 .

Link -uri

EulerNet Arhivat pe 9 decembrie 2013 la Wayback Machine
Euler Conjecture Arhivat pe 21 iunie 2013 la Wayback Machine
Sume egale de puteri - Tabele Arhivate 6 mai 2021 la Wayback Machine
Tito Piezas III: O colecție de identități algebrice Arhivat la 1 octombrie 2011 la Wayback Machine
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--5th Powers (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--6th Powers (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--7th Powers (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--8th Powers (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Euler's Sum of Powers Conjecture (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Euler Quartic Conjecture (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--4th Powers (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Conjectura lui Euler la library.thinkquest.org
Matematicienii găsesc noi soluții la un puzzle antic Arhivat 11 iulie 2015 la Wayback Machine