Ipotezele lui Weil

Conjecturile lui Weil sunt conjecturi matematice despre funcțiile zeta locale ale varietăților proiective peste câmpuri finite .

Conjecturile lui Weil afirmă că funcțiile zeta locale trebuie să fie raționale , să satisfacă o ecuație funcțională și să aibă zerourile lor pe liniile critice. Ultimele 2 ipoteze sunt similare cu ipoteza Riemann pentru funcția zeta Riemann .

Ipotezele în formă generală au fost formulate de André Weil în 1949, raționalitatea a fost dovedită de Bernard Dwork în 1960, o ecuație funcțională de Alexander Grothendieck în 1965, un analog al ipotezei Riemann de Pierre Deligne în 1974 [1] .

Enunțul ipotezelor lui Weyl

Fie o varietate algebrică proiectivă nesingular -dimensională peste un câmp finit . Funcția sa zeta de congruență este definită ca $X$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(X,\;T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k} \dreapta),

unde este numărul de puncte peste extensia -dimensională a câmpului . Funcția zeta locală . $N_{k}$ $X$ $k$ $\mathbb {F} _{q^{k)}$ $\mathbb {F} _{q}$ $\zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})$

Ipotezele lui Weyl afirmă următoarele:

1. (Raționalitatea) este o funcție rațională . Mai exact, poate fi reprezentat ca produs final $Z(X,\;T)$ $T$ $Z(X,\;T)$

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1))={\frac {P_ {1}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n}(T)}},

unde fiecare este un polinom cu coeficienți întregi. Mai mult , și pentru tot , și sunt niște numere întregi algebrice . $P_{i}(T)$ $P_{0}(T)=1-T,\;P_{2n}(T)=1-q^{n}T$ $i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1$ $P_{i}(T)=\prod \limits _{j}(1-\alpha _{ij}T)$ $\mathbb {C}$ $\alpha _{ij)$

2. (Ecuația funcțională și dualitatea Poincaré ) Funcția zeta satisface relația

\zeta (X,\;ns)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,\;s)

sau echivalent

Z\left(X,\;{\frac {1}{q^{n}T}}\right)=\pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,\; T),

unde este caracteristica Euler (indicele de autointersecție al diagonalei în ). $E$ $X$ $\Delta (X)$ $X\ ori X$

3. (ipoteza Riemann) pentru toate . Rezultă că toate zerourile se află pe „linia critică” . $i,\;j$ $|\alpha _{i}|=q^{i/2}$ $P_{k}(q^{-s})$ $\operatorname {Re} s=k/2$

4. (Numerele Betti) Dacă este o reducere bună modulo o varietate proiectivă non-singulară definită pe un câmp numeric încorporat în câmpul numerelor complexe , atunci gradul de , unde este numărul Betti al spațiului de puncte complexe . $X$ $p$ $Y$ $\deg P_{i}=\beta _{i}(Y)$ $\beta _{i}$ $Y$

Note

↑ Deligne, Pierre . La Conjecture de Weil: I // Publications Mathématiques de l'IHÉS : journal. - Bures-sur-Yvette: Institut des hautes études scientifiques , 1974. - Vol. 43. - P. 273-307. — ISSN 0073-8301 . - doi : 10.1007/BF02684373 . — . — MR 340258 Arhivat la 3 noiembrie 2021 la Wayback Machine

Literatură

Hartshorne R. Geometrie algebrică. — M .: Mir, 1981. — 597 p.