Varietate algebrică

O varietate algebrică este obiectul central de studiu în geometria algebrică . Definiția clasică a unei varietăți algebrice este setul de soluții ale unui sistem de ecuații algebrice peste numere reale sau complexe . Definițiile moderne îl generalizează în diverse moduri, dar încearcă să păstreze intuiția geometrică în concordanță cu această definiție [1] .

Definiția unei varietăți algebrice poate varia ușor între autori: unii autori [2] includ proprietatea de ireductibilitate în definiție (aceasta înseamnă că o varietate nu poate fi uniunea unor varietăți mai mici, vezi mai jos), în timp ce unii [3] fac distincția între diversitatea ireductibilă și „generală”. În acest articol, vom adera la prima convenție și vom numi mulțimile soluțiilor sistemelor de ecuații care nu sunt mulțimi algebrice ireductibile .

Conceptul de varietate algebrică are o oarecare asemănare cu conceptul de varietate netedă . Diferența este că soiurile algebrice, spre deosebire de soiurile netede, pot avea puncte singulare . O vecinătate a unui punct non-singular dintr-o varietate algebrică reală este izomorfă la o varietate netedă.

Dovedită în jurul anului 1800, teorema fundamentală a algebrei a stabilit o legătură între algebră și geometrie , arătând că un polinom redus într-o variabilă (obiect algebric) este determinat în mod unic de rădăcinile sale complexe, adică de un set finit de puncte pe planul complex ( obiect geometric). Teorema nulă a lui Hilbert , generalizând acest rezultat, a stabilit o corespondență fundamentală între idealurile inele polinomiale și varietățile algebrice. Folosind teorema nulă a lui Hilbert și rezultatele aferente, matematicienii au stabilit o corespondență între întrebările despre varietățile algebrice și întrebările despre teoria inelelor ; utilizarea unor astfel de corespondențe este un semn distinctiv al geometriei algebrice.

Definiții

Există diferite tipuri de varietăți algebrice: soiuri afine, soiuri proiective, soiuri cvasi-proiective. O varietate algebrică în sensul cel mai general se obține prin lipirea mai multor varietăți cvasi-proiective.

Soiuri afine

Fie k un câmp algebric închis (în geometria algebrică clasică, câmpul numerelor complexe ); este un spatiu afin n - dimensional peste k . Există o teoremă din analiza clasică care afirmă că submulțimile închise sunt exact mulțimile zero ale tuturor funcțiilor posibile infinit derivabile . [4] Topologia Zariski, într-un sens, extinde această proprietate la cazul funcțiilor polinomiale : în definirea topologiei Zariski, fiecare set de polinoame din n variabile este asociat cu mulțimea de puncte din spațiul afin în care toate aceste polinoame dispar: ${\mathbb A}^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Z(S)=\{x\in {\mathbb A}^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.

Mulțimile închise în topologia Zariski sunt toate mulțimile de forma Z ( S ), de asemenea, aceste mulțimi închise sunt numite mulțimi algebrice . O varietate algebrică afină este o mulțime algebrică care nu poate fi reprezentată ca unirea a două mulțimi algebrice mai mici. ${\mathbb A}^{n}$

O submulțime poate fi asociată cu un ideal format din polinoame egale cu zero pe această submulțime: $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$

I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.

În cazul în care V este o varietate algebrică, inelul factor al inelului de polinoame prin idealul I ( V ) se numește inel de coordonate al varietății date, de obicei notat cu k [ V ]. Rețineți că o mulțime algebrică V este o varietate dacă și numai dacă I ( V ) este un ideal prim (sau, în mod echivalent, inelul de coordonate este integral ).

Varietăți proiective și cvasi-proiective

Fie k un câmp algebric închis și un spațiu proiectiv n - dimensional peste k , adică o proiectizare . Niciun polinom nu definește o funcție pe acest spațiu (deoarece un punct are multe coordonate omogene diferite), totuși, pentru un polinom omogen în n + 1 variabile, se pot determina corect punctele în care polinomul este egal cu zero (deoarece coordonatele omogene proporționale corespund valorilor proporționale ale polinomului omogen). Astfel, mulțimea de polinoame omogene S poate fi asociată cu mulțimea de puncte Z ( S ) la care toate aceste polinoame sunt egale cu zero, aceasta definește topologia Zariski pe spațiul proiectiv. O varietate algebrică proiectivă este un subset ireductibil închis (în topologia Zariski) a unui spațiu proiectiv . Mulțimea V poate fi asociată cu un ideal omogen generat de polinoame omogene care dispar pe V . Un inel coeficient se numește inel de coordonate omogen . ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ ${\mathbb {P}}^{n}$

O varietate cvasi-proiectivă este un subset deschis al unei varietăți proiective. În special, orice varietate afină este izomorfă cu una cvasi-proiectivă [5] .

Varietăți algebrice abstracte

În geometria algebrică clasică au fost luate în considerare doar varietăți cvasi-proiective. Dezavantajul acestei definiții este că trebuie să se stabilească o anumită încorporare a unei varietăți într-un spațiu proiectiv: de exemplu, nu se poate numi o varietate varietate până când este dată încorporarea sa într-un spațiu proiectiv (pentru a specifica o astfel de încorporare, trebuie pentru a utiliza încorporarea Segre ). În plus, dacă o varietate algebrică poate fi încorporată într-un spațiu proiectiv, aceasta poate fi încorporată într-un număr infinit de altele, folosind compoziția cu încorporare Veronese . Este departe de a fi evident că proprietățile varietăților (cum ar fi proprietatea unei mapări între varietăți de a fi regulată) nu depind de alegerea unei astfel de încorporare. ${\mathbb P}^{1}\time {\mathbb P}^{1}$

Prima încercare de a defini o varietate algebrică în mod abstract (adică fără a specifica o încorporare într-un spațiu proiectiv) a fost făcută de Weil , care a definit varietăți în termeni de evaluări în Fundamentele geometriei algebrice . Claude Chevallet a propus o definiție a schemei care a funcționat în mai multe situații. Cu toate acestea , definiția lui Alexander Grothendieck a unei scheme a fost și mai generală și a fost acceptată de un număr mare de matematicieni. În limbajul teoriei schemelor, o varietate algebrică este de obicei definită ca o schemă întreagă separabilă de tip finit peste un câmp algebric închis [6] , unii autori resping de asemenea cerința de închidere algebrică sau ireductibilitate.

Exemple

Mai jos sunt câteva exemple de varietăți algebrice (mai mult, toate sunt curbe algebrice ). Multe alte exemple pot fi găsite în categoria curbelor algebrice .

Cazuri speciale de soiuri algebrice

Dimensiunea unei colectoare→ Gradul polinom↓	0	unu	2	…	k
unu	Punct	Drept	Avion	…	hiperplan
2		Konika	Suprafata de ordinul doi	…	Quadric
3		cub	Suprafata de ordinul trei	…	Manifold de ordinul 3
patru		cuartică	Suprafata de ordinul al patrulea	…	Colectiv 4 comenzi
…		…	…	…	…
k		Curba algebrică	Suprafața algebrică	…	Varietate algebrică

Linie afină

Luați în considerare un polinom din inel ${\mathbb C}[x,y]:$

f(x,y)=ax+by+c.

Mulțimea de zerouri a acestui polinom este o linie afină în . Pentru a demonstra că o linie afină este o varietate algebrică, este suficient să observăm că polinomul este ireductibil , iar inelul k [ x , y ] este factorial (într-un inel factorial, idealul principal generat de un polinom ireductibil este simplu ). ${\mathbb C}^{2}$ $topor+de+c$

Quadrics

Toate elipsele, parabolele și hiperbolele (adică toate cvadricile nedegenerate ) sunt subvariete algebrice ale planului complex. O cvadrică degenerată nu este întotdeauna o varietate algebrică: de exemplu, o cvadrică poate fi reprezentată ca o uniune a două linii, în acest caz o astfel de reprezentare este unică. Acest lucru nu este întâmplător: orice mulțime algebrică poate fi reprezentată ca o uniune a unui număr finit de varietăți algebrice (din care niciuna nu este o subvarietate a altuia), și, mai mult, într-un mod unic [7] . $X y$

Twisted Cube

Mulțimea punctelor din spațiu având forma este o varietate algebrică afină și, în plus, o curbă algebrică neconținută în niciun plan. [8] Acest set este „cubul răsucit” prezentat în ilustrația de mai sus (mai precis, este prezentată proiecția sa pe un spațiu real tridimensional). Poate fi definită ca mulțimea de zerouri comune a două ecuații: ${\mathbb C}^{3}$ $(z,z^{2},z^{3})$

{\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0.\,\end{aligned}}

Cea mai ușoară modalitate de a demonstra ireductibilitatea acestei mulțimi este utilizarea proiecției ( x , y , z ) → ( x , y ), care este injectivă pe mulțimea de soluții și a cărei imagine este o curbă ireductibilă (parabolă).

Cubicul răsucit este de obicei considerat ca o varietate proiectivă în , care este imaginea cartografierii Veronese . În multe manuale, este dat ca cel mai simplu exemplu de curbă într-un spațiu proiectiv care nu este liniar. Imaginea acestui soi într-unul din graficele afine a fost considerată mai sus . ${\mathbb P}^{3}$

Definiții înrudite

Afișare obișnuită

O mapare regulată între varietăți afine este o mapare dată de polinoame. Mai precis, dacă sunt varietăți afine, o mapare obișnuită este o mapare de forma , unde , și , adică imaginea oricărui punct din X satisface ecuațiile care definesc Y . $X\in {\mathbb A}^{n},Y\in {\mathbb A}^{m}$ $f=(f_{1},\dots, f_{m})$ $f_{i}\în k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)$ $f(X)\subseteq Y$

Mai general, o mapare ƒ : X → Y a soiurilor cvasi-proiective este regulată într-un punct x dacă există o vecinătate U a lui x și o vecinătate V a lui f ( x ) astfel încât restricția ƒ : U → V este o zonă regulată. cartografierea soiurilor (afine). Atunci o mapare este regulată dacă este regulată în toate punctele domeniului de definiție.

O mapare obișnuită la se numește funcție obișnuită . Inelul funcțiilor regulate pe o varietate afină V se numește inel de coordonate k [ V ]. Această definiție coincide cu definiția unui inel de coordonate dată mai sus , deoarece două funcții regulate nu coincid dacă și numai dacă diferența lor aparține . De asemenea, acest inel coincide cu inelul funcțiilor raționale ale căror valori sunt finite în toate punctele lui V (dovada acestui fapt folosește ireductibilitatea varietății [9] ), sau, mai abstract, cu inelul secțiunilor globale a snopului structural pe V (vezi articolele Spectrul unui inel , Schema ) . Se poate considera și câmpul funcțiilor k ( V ) pe o varietate algebrică V , constând din toate funcțiile raționale pe V. ${\mathbb A}^{1}$ ${\mathbb A}^{n}$ $V\in {\mathbb A}^{n}$ $I(V)$

Mapările regulate, prin definiție, sunt morfisme din categoria varietăților algebrice. În special, din faptul că categoria schemelor afine este duală cu categoria inelelor comutative , rezultă că mapările regulate între varietățile afine sunt în corespondență unu-la-unu cu homomorfismele inelelor lor de coordonate.

O mapare regulată reversibilă a cărei inversă este de asemenea regulată se numește mapare biregulară . Varietățile algebrice sunt izomorfe dacă și numai dacă există o mapare biregulară între ele.

Regularitatea unei mapări este o condiție destul de puternică: de exemplu, din teorema lui Liouville rezultă că singurele funcții regulate dintr-o varietate proiectivă sunt constante. Din acest motiv, sunt adesea folosite condiții mai slabe - raționalitatea cartografierii și echivalența birațională a soiurilor.

Dimensiunea unei varietăți

Fie k [ V ] inelul de coordonate al lui V . Atunci dimensiunea lui V este gradul de transcendență al câmpului fracțiilor inelului k [ V ] ca prelungire a câmpului k [10] .

Există multe definiții echivalente ale dimensiunii. De exemplu, fie x un punct arbitrar nesingular al soiului V , apoi snop de structură pe V ne permite să definim un inel local R x de „funcții raționale în punctul x ” cu un ideal maxim m , apoi dimensiunea a varietății este dimensiunea inelului factor m / m 2 ca spațiu vectorial peste câmpul R x / m . O altă definiție: dimensiunea unei varietăți afine A este supremul lui n astfel încât să existe un lanț de subvarietăți afine . $X_{0}\subsetneq X_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq X_{n}=A$

Varietățile algebrice de dimensiunea 1 se numesc curbe algebrice . Cel mai adesea, sunt luate în considerare curbele algebrice complexe; în vecinătatea unui punct nesingular, ele sunt homeomorfe la o varietate reală bidimensională . Genul unei curbe algebrice complexe este genul suprafeței topologice corespunzătoare.

Varietățile algebrice de dimensiunea 2 se numesc suprafețe algebrice .

Vezi și

Schemă (matematică)

Note

↑ Hartshorne, 1981 , p. 86-88.
↑ Hartshorne, 1981 , p. optsprezece.
↑ Harris, 2005 , p. 17.
↑ Jet Nestruev . Varietăți netede și observabile. Capitolul 2, Propunerea 2.4.
↑ Hartshorne, 1981 , exercițiul 2.9, p. treizeci.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 141.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 21.
↑ Harris, p. 24; ireductibilitatea acestui set este un exercițiu în Hartshorne, p. 24.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 35.
↑ Harris, 2005 , p. 171.

Literatură

Mumford D. Cartea roșie despre varietăți și scheme. - M. : MTsNMO, 2007. - 296 p. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Geometrie algebrică. — M .: Mir, 1981. — 597 p.
Shafarevich I. R. Fundamentele geometriei algebrice. - M. : MTSNMO, 2007. - 589 p. - ISBN 978-5-94057-085-1 .
Harris J. Geometrie algebrică. Curs inițial. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 p. - ISBN 5-94057-084-4 .

Link -uri

Ravi Vakil , MATH 216: Foundations of algebric geometry Arhivat 5 octombrie 2013 la Wayback Machine (Versiunea 6/11/2013) - Note de la un curs de geometrie algebrică predat la Universitatea Stanford.
SURFER Arhivat 2 iulie 2017 la Wayback Machine este un program gratuit pentru vizualizarea suprafețelor algebrice.