Funcția zeta locală

Funcția zeta de congruență este un prototip pentru construirea importantei funcției L Hasse-Weil , o serie de forma

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right )

construit pe succesiunea numărului de puncte dintr- o varietate afină sau proiectivă în câmpuri finite. $N_{k}$ $V$

Funcția zeta locală . Pentru aceasta, există un analog al ipotezei Riemann . $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$

Definiție

Fie o varietate afină sau proiectivă peste un câmp finit . Funcția zeta de congruență a unei varietăți este definită ca o serie formală de puteri $V$ $\mathbb {F} _{q}$ $V$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k)}{ k}}T^{k}\dreapta)

unde , și este numărul de puncte din . Numerele sunt finite datorită caracterului finit al oricărei varietăți afine sau proiective de dimensiune finită pe un câmp finit. $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!)}}$ $N_{k}$ $V$ $\mathbb {F} _{q^{k)}$ $N_{k}$

O funcție zeta locală este o funcție , unde este caracteristica câmpului , este o variabilă complexă. $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$ $p$ $\mathbb {F} _{q}$ $s\in \mathbb {C}$

Exemple

Luați ecuația , din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că este doar un punct. În acest caz, toate . Apoi $x=0$ $V$ $N_{k}=1$

Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp (-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T))

Să fie o linie proiectivă peste . Dacă , atunci are un punct: toate punctele câmpului și un punct infinit. prin urmare $V$ $0x=0$ $F$ $F=\mathbb {F} _{q^{k}}$ $V$ $N_{k}=q^{k}+1$

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k)){k))+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1- T)(1-qT)}}

Proprietăți

$Z(X,T)$ reprezentat ca un produs infinit

Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},

unde trece prin toate punctele închise și este gradul de . În cazul, care a fost discutat mai sus, atunci punctele închise sunt clase de echivalență de puncte , unde două puncte sunt echivalente dacă sunt conjugate peste câmp . Gradul este gradul de extindere a câmpului generat de coordonate . Atunci derivata logaritmică a produsului infinit va fi egală cu funcția generatoare $X$ $X$ $\deg x$ $X$ $X=V$ $x=[P]$ $P\in {\overline {V}}$ $F$ $X$ $F$ $P$ $Z(X,T)$

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,

Dacă este o curbă eliptică, atunci în acest caz funcția zeta este egală cu $E$

Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)} }

Dacă , atunci converge într-un cerc deschis de rază . $(\forall k)N_{k}<CA^{k)$ $Z(T)$ $R=A^{-1}$

Dacă , și sunt funcțiile zeta corespunzătoare, atunci . ${\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)))$ $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$

Dacă , atunci . $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\ alfa _{s}^{k}$ $Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T) ...(1-\beta _{t}T)}}$

Aplicație

Funcția L Hasse-Weyl este definită în termenii funcției zeta de congruență, după cum urmează

L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p}, p^{-s})}}

Conjectura lui Riemann pentru curbe peste câmpuri finite

Dacă este o curbă proiectivă non- singulară peste , atunci se poate arăta că $C$ $F$

Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)))\ ,

unde este un polinom de grad , unde este genul curbei . Imagina $P(t)$ $2g$ $g$ $C$

P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\,

atunci ipoteza Riemann pentru curbe peste câmpuri finite afirmă că

{\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2))

Pentru funcția zeta locală, această afirmație este echivalentă cu faptul că partea reală a rădăcinilor este . $\zeta (X,s)$ $1/2$

De exemplu, pentru o curbă eliptică , obținem cazul când există exact 2 rădăcini și apoi putem arăta că valorile absolute ale rădăcinii sunt egale . Acest caz este echivalent cu teorema lui Hasse privind estimarea numărului de puncte ale unei curbe într-un câmp finit. ${\sqrt {q))$

Formule generale pentru funcția zeta

Din formula urmelor Lefschetz pentru morfismul Frobenius rezultă că

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i }({\overline {X)),{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1)).

Aici este o schemă separabilă de tip finit peste un câmp finit și este o acțiune geometrică Frobenius pe coomologie etale adică susținută compact . Aceasta arată că funcția zeta dată este o funcție rațională . $X$ $\mathbb {F} _{q}$ $\operatorname {Frob} _{q}$ $\ell$ $\overline {X}$ $T$

Literatură

Irlanda K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne. — M .: Mir, 1987. — 428 p.
Koblitz N. Introducere în curbele eliptice și forme modulare. — M .: Mir, 1988. — 319 p.
Hartshorne R. Geometrie algebrică. — M .: Mir, 1981. — 597 p.