Contele Erdős - Diophantus

Un grafic Erdős-Diophantus este un set de puncte dintr-un plan cu coordonate întregi, distanțele dintre care sunt numere întregi și care nu pot fi extinse prin adăugarea altor puncte. În mod echivalent, această mulțime poate fi descrisă ca un grafic complet cu vârfuri pe o rețea întreagă , astfel încât distanțele perechi dintre vârfuri să fie numere întregi, în timp ce toate celelalte puncte ale rețelei au o distanță non-întreg la cel puțin un vârf.

Conții de Erdős-Diophantus sunt numiți după Pal Erdős și Diophantus din Alexandria . Graficele formează un subset al setului de figuri diofantine , care sunt definite ca grafice complete pe planul diofantin în care toate muchiile au lungimi întregi. Atunci graficele Erdős-Diophantine sunt exact figuri diofantine care nu pot fi extinse. Existența graficelor Erdős-Diophantine decurge din teorema Erdős-Anning , conform căreia infinitele figuri Diofantine trebuie să fie coliniare pe planul Diofantin. Prin urmare, orice proces de extindere a unei figuri diofantine necoliniare prin adăugarea de vârfuri trebuie să ajungă într-un stadiu în care figura nu poate fi extinsă.

Exemple

Orice set de zero puncte sau un punct poate fi extins trivial, iar orice set diofantin de două puncte poate fi extins cu puncte de pe aceeași linie. Astfel, toate mulțimile Diofantine cu mai puțin de trei puncte pot fi extinse și, prin urmare, graficele Erdős-Diophantine cu mai puțin de trei vârfuri nu există.

Prin căutare numerică, Koner și Kurtz [1] au arătat că există grafice Erdős-Diophantus cu trei vârfuri. Cel mai mic triunghi Erdős-Diophantus are lungimea laturilor de 2066, 1803 și 505. Următorul triunghi Erdős-Diophantus ca mărime are laturile 2549, 2307 și 1492. În ambele cazuri, suma celor trei laturi este un număr par. Brancheva a demonstrat că această proprietate este valabilă pentru toate triunghiurile Erdős-Diophantus, lungimea totală a oricărei căi închise în graficul Erdős-Diophantus este întotdeauna egală.

Un exemplu de grafic Erdős-Diophantine cu patru vârfuri este graficul complet format din vârfurile unui dreptunghi cu laturile 4 și 3.

Note

1. ↑ Kohnert, Kurz, 2007 .

Literatură

• Axel Kohnert, Sascha Kurz. O notă despre graficele Erdős-Diophantine și covoarele diofantine // Mathematica Balkanica. - 2007. - T. 21 , nr. 1–2 . - arXiv : math/0511705 .
• Stancho Dimiev, Krassimir Markov. numere întregi de Gauss și cifre diofantine // Matematică și educație matematică. - 2002. - T. 31 . — S. 88–95 . - Cod biblic . - arXiv : math/0203061 .