Teorema Erdős-Anning este o afirmație conform căreia o mulțime infinită de puncte dintr-un plan poate avea distanțe întregi între punctele mulțimii numai dacă toate punctele se află pe o singură dreaptă. Este numit după Pal Erdős și Norman Herbert Anning , care au publicat dovada sa în 1945 [ 1 ] .
Deși nu există un set infinit de puncte care să aibă distanțe reciproce întregi, există o mulțime infinită de puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă, distanțele dintre care sunt numere raționale.
De exemplu, pe cercul unității există un set de puncte pentru care este un număr rațional. Pentru orice astfel de puncte, și , și sunt raționale. Fie și definiți două puncte în , atunci distanța este rațională.
Se știe că un cerc cu rază conține o mulțime densă de puncte cu distanțe reciproce raționale dacă și numai dacă este rațional [2] .
Pentru orice set finit de puncte cu distanțe reciproc raționale, se poate găsi un set similar de puncte cu distanțe reciproce întregi prin extindere (înmulțirea distanțelor cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor distanței). Astfel, există un set arbitrar mare de puncte în plan cu distanțe întregi. Cu toate acestea, adăugarea de puncte la o mulțime poate crește factorul de întindere, astfel încât o astfel de construcție nu face posibilă convertirea unui set infinit de puncte cu distanțe raționale într-un set infinit de puncte cu distanțe întregi.
Rămâne necunoscut dacă există o mulțime de puncte cu distanțe reciproce raționale care este o submulțime densă a planului euclidian [2] .
Fie ca mulțimea de puncte din plan să aibă distanțe reciproce întregi și să conțină trei puncte și , nefiind situat pe o singură dreaptă, distanțele reciproce între care nu depășesc . Să arătăm că numărul de puncte din set nu depășește .
Fie , , și distanțele dintre puncte , și . Fie orice alt punct de la . Din inegalitatea triunghiului rezultă că este un număr întreg nenegativ care nu depășește . Pentru fiecare număr întreg între 0 și , locul punctelor care satisface egalitatea formează o hiperbolă cu și la focare. Punctul trebuie să se afle pe una dintre aceste hiperbole.
Din motive de simetrie, trebuie să se afle și pe una dintre hiperbolele care au și la focare. Fiecare dintre perechile de hiperbole distincte, una definită de punctele și , iar cealaltă de punctele cu , se poate intersecta în maximum patru puncte, iar fiecare punct din (inclusiv , și ) este unul dintre punctele de intersecție. Există un maxim de puncte de intersecție ale perechilor de hiperbole și, prin urmare, un maxim de puncte în mulțime .
Astfel, mulțimea de puncte din plan care nu se află pe o singură dreaptă și au distanțe întregi reciproce poate fi completată doar cu un număr finit de puncte. Setul de puncte cu coordonate întregi și distanțe întregi, la care punctele nu pot fi adăugate păstrând ambele proprietăți, se numește graficul Erdős-Diophantus .