Transformată Laplace bilaterală

Transformarea Laplace cu două fețe este o transformare integrală strâns legată de transformata Fourier , transformata Mellin și transformata Laplace obișnuită și unilaterală .

Definiție

Dacă este o funcție reală sau complexă a unei variabile reale , atunci transformata Laplace cu două fețe este dată de formula $f(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}\stanga\{f(t)\dreapta\}$

{\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t )\,dt.

Integrala din această definiție se presupune a fi improprie și convergentă atunci când există $\left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^ {0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrice}}\right.$

Uneori transformările cu două fețe sunt scrise sub formă

{\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _ {-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

În general, o variabilă poate fi o valoare reală sau complexă. $t$

Relația cu alte transformări integrale

Dacă este funcția Heaviside , atunci transformarea Laplace obișnuită poate fi exprimată în termenii formulei cu două fețe $u(t)$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.

Și invers: dintr-o transformare cu două fețe, puteți obține cea obișnuită prin formulă

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{ {\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).

Transformarea Mellin poate fi exprimată în termeni de transformată Laplace cu două fețe prin formula

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)

Și invers: din transformarea pe două fețe, puteți obține transformarea Mellin prin formula

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).

Transformarea Fourier poate fi definită în termenii transformării Laplace cu două fețe prin formula

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-este).

Proprietăți

Proprietățile transformărilor Laplace

	Domeniul timpului	Zona unilaterală	Zona bilaterală
Prima derivată	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Derivată a doua	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$

Literatură

LePage, Wilbur R. , Variabile complexe și transformarea Laplace pentru ingineri , Publicații Dover, 1980
van der Pol, Balthasar și Bremmer, H., Operational Calculus Based on The Two-Sided Laplace Integral , Chelsea Pub. Co., ediția a III-a, 1987

Transformată Laplace bilaterală

Definiție

Relația cu alte transformări integrale

Proprietăți

Literatură

Note