Grup divizibil

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 aprilie 2018; verificarea necesită 1 editare .

Un grup divizibil este un grup astfel încât pentru oricare și ecuația $G$ $n\în {\mathbb N}$ $g\în G$

x^{n}=g

rezolvabil. Adesea se presupune că grupul este abelian , iar condiția este scrisă în notație aditivă ca . $nx=g$

Un grup se numește -divizibil ( este un număr prim ) dacă pentru oricare este rezolvabil în ecuație . $A$ $p$ $p$ $a\în A$ $A$ $px=a$

Grupurile divizibile necomutative sunt uneori numite complete (a nu se confunda cu grupurile complete , care sunt izomorfe cu grupul lor de automorfism).

Exemple

Grupul tuturor numerelor raționale ; $(\mathbb {Q} ,+)$
$p$ -grup cvasiciclic primar , adică un grup generat de un set numărabil de elemente care îndeplinesc condiția $(\mathbb {Z} _{p^{\infty )),+)$ $a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots$

pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots

Proprietăți ale grupurilor divizibile

Imaginea homomorfă a unui grup abelian divizibil este un grup divizibil.
Un grup abelian este divizibil dacă și numai dacă este -divizibil pentru fiecare prim . $p$ $p$
Fiecare subgrup divizibil se distinge printr-un sumand direct.
- Prin urmare, grupurile abeliene divizibile sunt obiecte injective din categoria grupurilor abeliene ( -module). Aceeași afirmație este valabilă și în categoria modulelor peste orice domeniu al idealurilor principale . $\mathbb {Z}$
Orice grup abelian se descompune într-o sumă directă , unde este un grup divizibil (se numește partea divizibilă a grupului ) și este un grup redus, adică un grup care nu conține subgrupuri divizibile diferite de zero. $A$ $A=D\oplus R$ $D$ $A$ $R$

Structura grupurilor divizibile

Dacă este un grup abelian divizibil arbitrar, atunci $A$

A\cong \bigoplus \limits _{r_{0}(A)}\mathbb {Q} \oplus \bigoplus \limits _{p\in P}\bigoplus \limits _{r_{p}(A )}\mathbb {Z} _{p^{\infty }}

Definiții înrudite

Dacă într-un grup complet ecuațiile indicate în definiție sunt rezolvabile în mod unic, se numește grup D. Astfel, în special, sunt grupurile fără torsiune complet nilpotente local .

Literatură

L. Fuchs Grupuri abeliene infinite. T. 1, 2. - M .: Mir, 1974, 1977.
AG Kurosh Teoria grupurilor . — M.: Fizmatlit , 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6 .