Categoria grupurilor abeliene (notat Ab ) este o categorie ale cărei obiecte sunt grupuri abeliene și ale cărei morfisme sunt homomorfisme de grup . Este prototipul categoriei abeliene . [1] , de fapt, orice categorie abeliană mică poate fi încorporată în Ab [2] .
Ab este o subcategorie completă a Grp ( categorii tuturor grupurilor ). Principala diferență dintre Ab și Grp este că suma a două homomorfisme ale grupurilor abeliene este din nou un homomorfism:
( f + g )( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y ) = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )A treia egalitate necesită comutativitatea adunării. Adăugarea morfismelor face ca Ab o categorie pre-aditivă și, deoarece suma directă finită a grupurilor abeliene este un produs secundar , rezultă că Ab este o categorie aditivă .
În Ab noțiunea de nucleu în sens categoric este aceeași cu noțiunea de nucleu în sens algebric , același lucru este valabil și pentru cokernel . (Diferența cheie dintre Ab și Grp aici este că f ( A ) poate să nu fie un subgrup normal în Grp , astfel încât grupul de coeficient B / f ( A ) nu poate fi întotdeauna definit.) Având în vedere descrierile specifice de nucleu și cokernel, este ușor pentru a verifica dacă acel Ab este de fapt o categorie abeliană .
Un obiect Ab este injectiv dacă și numai dacă grupul este divizibil ; este proiectivă dacă și numai dacă grupul este liber.
Având în vedere două grupuri abeliene A și B , se poate defini produsul lor tensor A ⊗ B ; este din nou un grup abelian, ceea ce face din Ab o categorie monoidală .
Ab nu este cartezian închis deoarece exponențialele nu sunt întotdeauna definite în el .