Obiect injectiv

Un obiect injectiv este o generalizare teoretică categorie a conceptului de modul injectiv . Conceptul dual este un obiect proiectiv .

Definiție

Un obiect de categorie se numește injectiv dacă pentru orice morfism și orice monomorfism există un morfism extins , adică . $Q$ $C$ $f:A\to Q$ $h:A\la B$ $g:B\to Q$ $f$ $g\circ h=f$

Caz abelian

Definiția originală a unui obiect injectiv a fost dată pentru cazul abelian (și rămâne cel mai important). Dacă este o categorie abeliană , atunci obiectul său se numește injectiv dacă și numai dacă functorul Hom este exact . $C$ $Q$ $\mathrm {Hom} _{C}(-,Q)$

Destul de multe obiecte injective

Se spune că o categorie are suficiente obiecte injective dacă pentru orice obiect al categoriei există un monomorfism într-un obiect injectiv . $C$ $X$ $C$ $f:X\la Q$ $Q$

Înveliș injectiv

Un monomorfism de categorie se numește esențial dacă, pentru orice morfism , compoziția este un monomorfism numai dacă este un monomorfism. $g$ $C$ $f$ $f\circ g$ $f$

Dacă este un monomorfism esențial și obiectul este injectiv, atunci se numește plic injectiv . Corpul injectiv este unic până la izomorfismul non-canonic. $f:X\la G$ $G$ $G$ $X$

Generalizare

Fie o categorie — Clasa de morfisme y . $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathfrak{C}$

Un obiect de categorie se numește -injectiv dacă pentru orice morfism și fiecare morfism din clasă există un morfism pentru care . $Q$ $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $f:\la Q$ $h:\la B$ ${\mathcal {H}}$ $g:B\to Q$ $g\circ h=f$

Dacă este o clasă de monomorfism , atunci obținem definiția modulelor injective. ${\mathcal {H}}$

O categorie are destul de multe obiecte -injective dacă, pentru fiecare obiect X al categoriei , există un -morfism de la X la un obiect -injectiv. $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Exemple

În categoria grupurilor abeliene, obiectele injective sunt grupuri divizibile .

În categoria modulelor , obiectele injective sunt module injective . Există învelișuri injectabile în B și, ca urmare, există destul de multe obiecte injective. $R-\mathrm {Mod}$ $R-\mathrm {Mod}$

În categoria spațiilor metrice și mapărilor scurte , obiectele injective în raport cu monomorfismele extreme sunt spații metrice injective .

Obiectele injective sunt considerate și în categorii mai generale, de exemplu, în categoriile de functori sau în categoriile de snopi de module .

${\mathcal {H}}$ Un -morfism g into se spune a fi -esential daca, pentru orice morfism f , compozitia fg apartine clasei numai daca f apartine clasei . $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Dacă g este un morfism -esențial de la X la un obiect -injectiv G , atunci G este numit învelișul H -injectiv al lui X . ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Literatură

Jiri Rosicky . Injectivitate și categorii accesibile.
Charles A. Weibel. O introducere în algebra omologică. — Cambridge University Press, 1994.