Categoria modulului

O categorie de module este o categorie ale cărei obiecte sunt module unitare drepte (stânga sau cu două fețe, prin acord prealabil) peste un inel asociativ arbitrar K cu unitate și ale cărei morfisme sunt homomorfisme ale K-module.

Această categorie este cel mai important exemplu de categorie abeliană . Mai mult, pentru orice categorie abeliană mică există o încorporare exactă completă într-o anumită categorie de module.Proprietățile categoriei de module reflectă o serie de proprietăți importante ale inelului , o serie de proprietăți importante ale inelului sunt asociate acestei categorii, în special, dimensiunile sale omologice și parțial structura sa internă. Categoria modulelor peste un inel comutativ generat finit conține întreaga caracteristică algebro-geometrică a schemei afine a spectrului unui inel (una dintre teoremele lui Serre ).

Categoriile de module pe diferite inele pot fi echivalente (adică au același set de clase de obiecte izomorfe care sunt în aceeași relație între ele). În acest caz, se spune că inelele corespunzătoare sunt echivalente în Morita . De exemplu, categoriile de module peste algebre de matrice de ordine diferite sunt echivalente între ele, dar printr-un câmp comun. Toate sunt echivalente cu categoria de spații de pe același câmp.

Exemple

• Dacă este inelul numerelor întregi, atunci categoria modulelor este categoria grupurilor abeliene.
• Dacă există un câmp , atunci categoria modulelor este categoria spațiilor vectoriale peste .

Literatură

• Fața K. Algebră: Inele, module, categorii, volumul 1,2. - M . : „Mir”, 1977-79, - 688 p. + 464 p.
• Kash F. Module și inele. - M . : „Mir”, 1981, - 368 p.
• Lambek I. Inele și module . - M . : „Mir”, 1971, - 280 p.