Teoria diferențială Galois

Teoria diferențială Galois este o ramură a matematicii care studiază grupurile Galois de ecuații diferențiale .

Context și idee principală

În anii 1830, Liouville a creat teoria integrării în funcții elementare , a cărei realizare importantă a fost dovada că funcțiile elementare nu pot lua integrale ale funcțiilor precum

f(x)=e^{-x^{2)),

f(x)={\frac {\sin x}{x)),

f(x)=x^{x},

Trebuie avut în vedere că conceptul de funcție elementară este doar o convenție. Dacă adăugăm o funcție de eroare la clasa funcțiilor elementare, atunci antiderivata funcției devine elementară. Cu toate acestea, se poate extinde la infinit clasa funcțiilor elementare în acest fel, dar vor exista întotdeauna funcții ale căror antiderivate nu sunt elementare. $f(x)=e^{-x^{2))$ .

Generalizarea ideilor sale, întreprinsă la începutul secolului al XX-lea, a condus la crearea teoriei diferențiale Galois , care, în special, permite să se afle dacă o funcție are o antiderivată, care se exprimă în termeni de funcții elementare. . Teoria Galois diferențială se bazează pe teoria Galois . Teoria algebrică Galois investighează extensiile câmpurilor algebrice și teoria Galois diferențială - extensii ale câmpurilor diferențiale , adică câmpurile pentru care este introdusă derivația . În teoria Galois diferențială există multe care sunt similare cu teoria algebrică Galois. Diferența esențială dintre aceste construcții constă în faptul că în teoria Galois diferențială se folosesc grupurile Lie matriceale , în timp ce în teoria Galois algebrică sunt folosite grupuri finite. $\mathcal{D}$

Definiții

Fiecare câmp diferențiabil are un subcâmp $F$

\operatorname {Con} F=\{f\in F\mid {\mathcal {D}}f=0\},

care se numește câmpul constantelor . Pentru două câmpuri diferențiale și un câmp se numește extensie logaritmică dacă este o extensie transcendentală simplă (adică pentru unele transcendentale ), astfel încât $F$ $F$ $G$ $G$ $F$ $G$ $F$ $G=F(t)$ $t$

{\mathcal {D}}t={\frac {{\mathcal {D}}s}{s}}

pentru unii .

s\în F

Este un fel de derivată logaritmică . Pentru înțelegere intuitivă, se poate gândi la el ca logaritmul unora dintre , iar atunci această condiție este similară cu regula pentru a lua derivata unei funcții complexe . Trebuie reținut că logaritmul conținut în nu este neapărat singurul; mai multe extensii „logaritmice” diferite pot coexista cu acesta . În mod similar, o extensie exponențială este o extensie transcendentală care satisface formula $t$ $s$ $F$ $F$ $F$

{\mathcal {D}}t=t{\mathcal {D}}s.

Astfel, se poate gândi la acest element ca la exponentul din . În cele din urmă, se numește extensie diferențială elementară dacă există un lanț finit de subcâmpuri de la până la , unde fiecare extensie este algebrică, logaritmică sau exponențială. $s$ $F$ $G$ $F$ $F$ $G$

Exemple

Câmpul funcțiilor raționale ale unei variabile cu diferențiere față de această variabilă. Constantele acestui câmp sunt numere complexe . $\mathbb {C} (x)$ $\mathbb {C}$

Teorema principală

Să presupunem că și sunt câmpuri diferențiale pentru care , și este o extensie diferențială elementară a . Fie , și, în plus, (adică conține antiderivata ). Atunci există astfel încât $F$ $G$ $\operatorname {Con} F=\operatorname {Con} G$ $G$ $F$ $a\în F$ $y\în G$ ${\mathcal {D}}y=a$ $G$ $A$ $c_{1},\dots,c_{n}\in \operatorname {Con} F$ $u_{1},\dots,u_{n},v\in F$

a=c_{1}{\frac {{\mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+\dots +c_{n}{\frac {{\mathcal {D} }u_{n}}{u_{n}}}}+{\mathcal {D}}v.

Cu alte cuvinte, doar acele funcții care au forma indicată în teoremă au o „antiderivată elementară”. Astfel, teorema afirmă că numai antiderivatele elementare sunt funcții „simple”, plus un număr finit de logaritmi de funcții simple.

Link -uri