Teoria Galois

Teoria Galois este o ramură a algebrei care vă permite să reformulați anumite întrebări ale teoriei câmpurilor în limbajul teoriei grupurilor , făcându-le într-un fel mai simple.

Évariste Galois a formulat principalele afirmații ale acestei teorii în termeni de permutări ale rădăcinilor unui polinom dat (cu coeficienți raționali ); el a fost primul care a folosit termenul „ grup ” pentru a descrie un set de permutări care este închis sub compoziție și conține permutarea identitară.

O abordare mai modernă a teoriei Galois este de a studia automorfismele unei extensii a unui câmp arbitrar folosind grupul Galois corespunzător extensiei date.

Aplicații

Teoria Galois oferă o singură abordare elegantă pentru rezolvarea unor astfel de probleme clasice precum

Ce figuri pot fi construite cu o busolă și o riglă ?
Ce ecuații algebrice pot fi rezolvate folosind operațiile algebrice standard ( adunare , scădere , înmulțire , împărțire și extragere a rădăcinilor )?

Simetrii rădăcină

Simetriile rădăcinilor sunt astfel de permutări pe mulțimea rădăcinilor unui polinom pentru care orice ecuație algebrică cu coeficienți raționali (cu mai multe variabile) care este satisfăcută de rădăcini este satisfăcută și de rădăcinile permutate.

Exemplu: ecuație pătratică

Polinomul de gradul doi are două rădăcini și , simetrice față de punctul . Există două opțiuni: $ax^{2}+bx+c$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x=-b/(2a)$

Dacă aceste rădăcini sunt raționale, atunci o singură rădăcină satisface ecuația, iar grupul ecuației este trivial. $x-x_{1}=0$
Dacă rădăcinile sunt iraționale, atunci grupul conține un element netrivial și este izomorf . $x_{1}\Leftrightarrow x_{2}$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$

Un exemplu mai complex

Luați în considerare acum polinomul . $(x^{2}-5)^{2}-24$

Rădăcinile sale : $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2} }+{\sqrt {3)),\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

Există diverse permutări ale rădăcinilor acestei ecuații, dar nu toate sunt simetrii. Elementele grupului Galois trebuie să păstreze orice ecuație algebrică cu coeficienți raționali. $4!=24$

Una dintre aceste ecuații este . Din moment ce , permutarea nu este în grupul Galois. $a+d=0$ $a+c\neq 0$ $a\la a,\b\la b,\c\la d,\d\la c$

În plus, se poate observa că , dar . Prin urmare, permutarea nu este inclusă în grup. $(a+b)^{2}=8$ $(a+c)^{2}=12$ $a\la a,\b\la c,\c\la b,\d\la d$

În cele din urmă, putem obține că grupul Galois al unui polinom este format din patru permutări:

(a,b,c,d)\la (a,b,c,d),

(a,b,c,d)\la (c,d,a,b),

(a,b,c,d)\la (b,a,d,c),

(a,b,c,d)\la (d,c,b,a)

și este un grup Klein cvadruplu , izomorf la . $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Formulare în termeni de teorie a câmpului

Teoria câmpului oferă o definiție mai generală a grupului Galois ca grup de automorfisme ale unei extensii Galois arbitrare .

În acest limbaj, se pot formula toate afirmațiile referitoare la „simetriile” rădăcinilor unui polinom. Și anume, fie coeficienții polinomului dat aparțin câmpului K . Se consideră o extensie algebrică L a câmpului K după rădăcinile unui polinom. Atunci grupul Galois al polinomului este grupul de automorfisme ale câmpului L care lasă pe loc elementele câmpului K , adică grupul Galois al extensiei . De exemplu, în exemplul anterior, grupul Galois al extensiei a fost considerat . $L\ supărat K$ ${\mathbb Q}({\sqrt 2},{\sqrt 3})\supset {\mathbb Q}$

Grupuri rezolvabile și rezolvarea ecuațiilor în radicali

Soluțiile unei ecuații polinomiale sunt exprimate în radicali dacă și numai dacă grupul Galois al ecuației date este în general rezolvabil . $P(x)=0$

Pentru oricare există o ecuație de gradul al cărei grup Galois este izomorf cu grupul simetric , adică constă din toate permutările posibile . Deoarece grupurile la nu sunt rezolvabile, există polinoame de grad ale căror rădăcini nu pot fi reprezentate prin radicali , care este o afirmație a teoremei Abel-Ruffini . $n$ $n$ $S_{n}$ $S_{n}$ $n>4$ $n$

Variații și generalizări

O abordare mai abstractă a teoriei Galois a fost dezvoltată de Alexander Grothendieck în 1960. Această abordare permite aplicarea principalelor rezultate ale teoriei Galois oricărei categorii care are proprietăți date (de exemplu, existența coproduselor și a pătratelor carteziene ).
- În special, acest lucru permite ca rezultatele teoriei Galois să fie transferate la teoria acoperirilor . Pentru a aplica această teorie la categoria extensiilor de câmp, este necesar să se studieze proprietățile produselor tensorice ale câmpurilor .

Literatură

Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (ed.) Matematica secolului al XIX-lea. — M.: Nauka.

Volumul 1 Logica matematică. Algebră. Teoria numerelor. Teoria probabilității. 1978. (link inaccesibil)

Teoria Postnikov M. M. Galois. Copie de arhivă datată 2 aprilie 2014 la Wayback Machine - M .: Fizmatgiz , 1963.
Grothendieck, Alexandru; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France , arXiv: math/0206203 - ISBN 978- 2-85629-141-2
Skopenkov A. B. Alte câteva dovezi din carte: solvabilitatea și insolvabilitatea ecuațiilor în radicali.
Lerner L. Galois Teorie fără algebră abstractă.
Emil Artin . Teoria Galois. / Per. din engleza. A. V. Samokhina. - Ed. a II-a. stereotipic. — M.: MTsNMO, 2008. — 66 p. — (Monografii clasice: matematică). - ISBN 978-5-94057-062-2 .

Link -uri

R. Borcherds , Playlist „Teoria Galois” pe YouTube

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 119587869 J9U : 987007558074605171 LCCN : sh85052872 NDL : 00562218 NKC : ph135380