Derivată logaritmică

Derivata logaritmică este derivata logaritmului natural al unei funcții.

$(\ln f)' = \frac{f'}{f}$

Este adesea folosit pentru a simplifica găsirea derivatei unor funcții, de exemplu a celor exponențiale compuse.

Aplicație

Derivată a funcției exponențiale

Fie (pentru concizie , unde u și g sunt funcții). $f(x)=u(x)^{g(x))$ $f=u^{g}$

Apoi , . Pe de altă parte, , i.e. . $\ln f=\ln u^{g}=g\ln u$ $(\ln f)'=(g\ln u)'=g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u))$ $(\ln f)' = \frac{f'}{f}$ $f' = f\cdot(\ln f)'$

În sfârșit avem $(u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})$

Derivată a unui produs de funcții

Să fie dată o funcție (pentru concizie ). $f(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(x)$ $f=\prod _{i=1}^{n}g_{i}$

Din moment ce . ${\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\ln \prod _{j=1}^{n}g_{j })'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\sum _{j=1}^{n}\ln g_{j})'=\prod _{i=1} ^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}(\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{ j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j))))$

În sfârșit obținem : $f'=(\prod _{i=1}^{n}g_{i})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1} ^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}=f\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{ j}}}$

Puteți scrie formula și ajungeți la o formă diferită:

Dacă , atunci

f=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n)

f'=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}\cdot \left({\frac {g_{1}'}{g_{1))}+{ \frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\ldots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)

Extindem parantezele, obținem:

f'=g_{1}'\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}+g_{1}\cdot g_{2}'\cdot \ldots \cdot g_{n}+ \ldots +g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}'

În special, dacă , atunci $f={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\ alfa _{m))}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}$ $f'={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{ \alpha _{m))}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\ beta _{n))))\cdot \left(\alpha _{1}\cdot {\frac {u_{1}'}{u_{1))}+\alpha _{2}\cdot {\frac {u_{2}'}{u_{2}}}+\ldots +\alpha _{m}\cdot {\frac {u_{m}'}{u_{m}}}-\beta _{1} \cdot {\frac {v_{1}'}{v_{1}}}-\beta _{2}\cdot {\frac {v_{2}'}{v_{2}}}-\ldots -\ beta _{n}\cdot {\frac {v_{n}'}{v_{n))}\right)$

Exemplu

Să găsim derivata funcției : ${\frac {df}{dx))$ $f(x) = x^x$

\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)

Vezi și

Derivat

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare