Cartografiere conformă

O mapare conformă este o mapare continuă care păstrează unghiurile dintre curbe și, prin urmare, forma figurilor infinitezimale .

Definiție

O mapare unu-la-unu a unui domeniu D pe un domeniu D * ( spațiu euclidian sau varietate riemanniană ) se numește conformă ( lat. conformis - similar) dacă, într-o vecinătate a oricărui punct D , diferența acestei transformări este alcătuirea unei transformări ortogonale şi a unei homotezii .

Acest termen provine de la analiza complexă , utilizată inițial doar pentru mapările conforme ale regiunilor plane.

Dacă orientarea este păstrată sub o mapare conformă , atunci se vorbeşte de o mapare conformă de primul fel ; dacă se schimbă la opus, atunci se vorbește despre o mapare conformă de al doilea fel sau o mapare anticonformă .
Se spune că două metrici dintr-o varietate netedă sunt echivalente conform dacă există o funcție netedă astfel încât . În acest caz, funcția se numește factor de conformare . $g,{\tilde g}$ $M$ $\psi :M\la \mathbb{R}$ ${\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g$ $e^{\psi }$ ${\tilde g}$

O mapare conformă păstrează forma unor figuri infinitezimale;
O mapare conformă păstrează unghiurile dintre curbe în punctele lor de intersecție ( proprietatea de păstrare a unghiului ).
- Această proprietate poate fi luată și ca definiție a unei mapări conforme.
Teorema lui Riemann : Orice domeniu deschis simplu conectat în plan, altul decât întregul plan, admite o bijecție conformă pe discul unității.
Teorema lui Liouville : Orice mapare conformă a unui domeniu al spațiului euclidian la poate fi reprezentată ca o suprapunere a unui număr finit de inversiuni . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geq 3$
Curbura Weil este păstrată sub o mapare conformă, adică dacă și sunt tensori metrici echivalenti conform , atunci ${\tilde g}$ $g$ ${\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

unde și notăm tensorii Weyl pentru și, respectiv.

{\tilde W}

W

{\tilde g}

g

Conexiunile sunt legate prin următoarea formulă: ${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .$
Curbururile sunt legate prin următoarea formulă: $g({\tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$ $-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$

dacă a denotă Hessianul funcției .

g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0

Hess_{\psi }

\psi

În cazul bidimensional , deci formula poate fi scrisă ca $|\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2)$

e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangle _{g}\psi

unde denotă laplacianul în raport cu .

\triunghi _{g}

g

Pentru o pereche ortonormală de vectori și , curbura secțiunii în direcție poate fi scrisă după cum urmează: $X$ $Y$ $X\wedge Y$ ${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_ {f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$

unde .

f=e^{{-\psi }}

Când se calculează curbura scalară a unei varietăți Riemanniane -dimensionale , este mai convenabil să se scrie factorul conform sub forma . În acest caz: $n$ ${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g$ ${\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{ \frac {n-2}{n+2}}$

Cel mai simplu exemplu sunt transformările de similaritate , ele epuizează toate mapările conforme ale întregului spațiu euclidian asupra ei înșiși;
Inversarea este o mapare conformă de al doilea fel;
Orice funcție holomorfă a cărei inversă este de asemenea holomorfă definește o mapare conformă a primului tip de domeniu corespunzător al planului complex ;
Proiecție stereografică .

Cartografierea conformală este utilizată în cartografie , electrostatică pentru calcularea distribuției câmpurilor electrice [1] , mecanica continuumului ( hidro- și aeromecanica , dinamica gazelor , teoria elasticității , teoria plasticității etc.).

Aleshkov Yu. Z. Prelegeri despre teoria funcției unei variabile complexe, Sankt Petersburg: editura Universității de Stat din Sankt Petersburg, 1999;
Ivanov V. I. Hărți conform și aplicațiile lor (un scurt eseu istoric). // Cercetări istorice și matematice . - M. : Janus-K, 2001. - Nr. 41 (6) . — S. 255-266. .
Carathéodory K. Cartografierea conformă. M.-L.: Ed. tehnică şi teoretică de stat ONTI, 1934 / Per. din engleza. M. V. Keldysha
Lavrentiev M.A. Mapări conforme. M.-L.: Gostekhizdat, 1946. 160 p.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Yanushauskas AI Analogi tridimensionali ai mapărilor conforme. Novosibirsk: Nauka, 1982. 173 p., 2650 exemplare.
Radygin V. M. , Polyansky I. S. Metode de cartografiere conformă a poliedrelor în // Vestn. Udmurtsk. universitate Mat. Blană. Calculator. Nauki, 27:1 (2017), 60–68. $\mathbb {R} ^{3}$

↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (germană) // Archiv ftir Elektrotechnik. - 1923. - Bd. 12 . — S. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01656573 .