Matricea Iordaniei

Matricea Jordan este o matrice bloc-diagonală pătrată peste câmp , cu blocuri de formă $\mathbb {K}$

J_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots & \ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{pmatrix}}.

Fiecare bloc se numește o celulă Jordan cu o valoare proprie (valorile proprii din diferite blocuri pot fi în general aceleași). $J_{\lambda }$ $\lambda$

Conform teoremei formei normale a lui Jordan, pentru o matrice pătrată arbitrară peste un câmp închis algebric (cum ar fi câmpul numerelor complexe ), există o matrice pătrată nedegenerată (adică inversabilă, cu un determinant diferit de zero) peste , astfel încât $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ $C$ $\mathbb {K}$

J=C^{{-1}}A\,C

este o matrice Jordan. Aceasta se numește forma Jordan (sau forma normală Jordan ) a matricei . În acest caz, se spune că matricea Jordan din câmp este, de asemenea, similară cu (sau conjugată cu ) matricea dată . Și invers, datorită relației de echivalent $J$ $A$ $J$ $\mathbb {K}$ $A$

A=CJC^{{-1}}

matricea este similară în câmp cu matricea . Este ușor de arătat că relația de similaritate introdusă în acest fel este o relație de echivalență și împărțiește mulțimea tuturor matricelor pătrate de un ordin dat pe un câmp dat în clase de echivalență disjunse. Forma Jordan a unei matrice nu este definită în mod unic, ci până la ordinea celulelor Jordan. Mai exact, două matrice Jordan sunt similare dacă și numai dacă sunt compuse din aceleași celule Jordan și diferă între ele doar prin localizarea acestor celule pe diagonala principală. $A$ $\mathbb {K}$ $J$ $\mathbb {K}$

Proprietăți

Numărul de celule Jordan de ordin cu o valoare proprie în forma Jordan a matricei poate fi calculat prin formula $n$ $\lambda$ $A$ $c_{n}(\lambda )=\operatorname {rang}(A-\lambda I)^{{n-1}}-2\operatorname {rank}(A-\lambda I)^{{n}}+ \operatorname {rank}(A-\lambda I)^{{n+1}},$

unde este matricea de identitate de același ordin cu , simbolul indică rangul matricei și , prin definiție, este egal cu ordinul lui . Formula de mai sus rezultă din egalitate

eu

A

\operatorname {rank}

\operatorname {rank}(A-\lambda I)^{0}

A

\operatorname {rank}(A-\lambda I)=\operatorname {rank}(J-\lambda I).

Dacă câmpul nu este închis algebric , pentru ca matricea să fie similară peste o matrice Jordan, este necesar și suficient ca câmpul să conțină toate rădăcinile polinomului caracteristic al matricei . $\mathbb {K}$ $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $A$
Într -o matrice hermitiană , toate celulele Jordan au dimensiunea 1.
Este matricea unui operator liniar în baza canonică.
Formele Jordan a două matrici similare coincid până la ordinea celulelor.

Istorie

Jordan a fost unul dintre primii care au luat în considerare o astfel de formă a matricei .

Variații și generalizări

În câmpul numerelor reale, valorile proprii ale matricei (adică rădăcinile polinomului caracteristic) pot fi atât reale, cât și complexe, iar valorile proprii complexe, dacă există, sunt prezente în perechi împreună cu conjugatele lor complexe: , unde și sunt numere reale, . În spațiul real, o astfel de pereche de valori proprii complexe corespunde blocului , iar matricelor care conțin și blocuri de forma corespunzătoare perechilor de valori proprii complexe sunt adăugate tipului de mai sus de matrici Jordan : [1] [2] $\lambda _{{1,2}}=\alpha \pm i\beta$ $\alfa$ $\beta$ $\beta \neq 0$ $J_{{\lambda _{{1,2))))$ $J_{{\lambda _{{1,2))))$

J_{{\lambda _{{1,2}}}}=\left({\begin{array}{cccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots &0&0&0&0\ \0&0&\alpha &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\ddots &0&0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\v \vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&0&0&\cdots &\alpha &\beta &1&0\\0&0&0&0&0&0&\cdots &-\beta & &0&1\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\\end{array}}\right).

Teorema formei normale Jordan este un caz special al teoremei privind structura modulelor generate finit pe domeniile ideale principale . Într-adevăr, clasificarea matricelor corespunde clasificării operatorilor liniari , iar spațiile vectoriale peste un câmp cu un operator liniar fix corespund bijectiv modulelor peste un inel polinomial (înmulțirea unui vector prin este dată ca o aplicație a unui operator liniar). $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$ $X$

În plus față de forma normală Jordan, sunt luate în considerare o serie de alte tipuri de forme normale matrice (de exemplu, forma normală Frobenius ). Ele sunt considerate, în special, atunci când câmpul de teren nu conține toate rădăcinile polinomului caracteristic al matricei date.

Vezi și

Forma canonică a lui Weir

Note

↑ Faddeev D.K. Prelegeri despre algebră. Moscova: Nauka, 1984.
↑ Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Matrix analysis. — M .: Mir, 1989 ( ISBN 5-03-001042-4 ).

Literatură

Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.
Gantmakher F. R. Teoria matricei. — M .: Nauka, 1966. — 576 p.
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson). Analiza matriceală. — M .: Mir, 1989, 655 p., ill. ( ISBN 5-03-001042-4 ).
Gelfand I. M. Prelegeri despre algebra liniară, Moscova: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Prelegeri despre algebră. Moscova: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linear Algebra and Geometry, Fizmatlit, Moscova, 2009.
Kim, G. D. Algebră liniară și geometrie analitică, Moscova, 2005.
V. V. Kolybasova, N. Ch. Krutitskaya, A. V. Ovchinnikov. Matricea operatorului de formă Jordan
P. Aluffi. Algebră: capitolul 0 (Studii universitare de matematică). - Societatea Americană de Matematică, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .