Matrici similare
Matricele pătrate A și B de același ordin se spune că sunt similare dacă există o matrice nesingulară P de același ordin astfel încât:
Matrici similare se obțin prin specificarea aceleiași transformări liniare de către o matrice în sisteme de coordonate diferite ; în acest caz, matricea Р este matricea de tranziție de la un sistem la altul.
Dacă două matrici sunt similare, atunci se spune că una dintre matrice este obținută printr-o transformare de similaritate din cealaltă. Dacă, în plus, una dintre matrice este diagonală , atunci se spune că a doua matrice este diagonalizabilă.
Proprietăți
Relația de similitudine a matricei este o relație de echivalență în spațiul matricelor pătrate.
Aceste matrici au multe caracteristici, și anume:
- rang
- determinant
- urmări
- valori proprii (dar vectorii proprii pot să nu se potrivească)
- polinom caracteristic
- Iordan până la permutarea celulară
Se poate demonstra că orice matrice A este similară cu A T .
Forme canonice ale matricilor similare
Se pune adesea întrebarea cât de mult poate fi simplificată forma unei transformări liniare date prin schimbarea bazei (adică sistemul de coordonate). Deoarece matricele rezultate sunt similare, aceasta este aceeași cu căutarea unei forme canonice a unei matrice în clasa de echivalență a matricelor similare cu matricea acestei transformări liniare.
Cea mai simplă astfel de formă ar fi, desigur, o matrice diagonală , dar nu toate matricele pot fi reduse la o formă diagonală (o excepție importantă sunt matricele simetrice reale și hermitiene , care pot fi întotdeauna diagonalizate).
Există mai multe forme canonice de matrice mai complexe la care orice matrice poate fi redusă printr-o transformare de similaritate: